【金版学案】届高考数学总复习基础知识名师讲义第三章第七节正弦定理和余弦定理文

《【金版学案】届高考数学总复习基础知识名师讲义第三章第七节正弦定理和余弦定理文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第七节　正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理一、三角形中的各种关系　设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角为A，B，C.1．三内角的关系：____________.2．边与边关系：___________________________________.3．边与角关系：(1)正弦定理：______________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)(2)余弦定理：__________________________________.它们的变式有：cosA＝____________，cosB＝____________，co

2、sC＝____________，a∶b∶c＝________，＝________.(3)常用三角形面积公式：S△＝_____________________.二、关于三角形内角的常用三角恒等式由A＋B＋C＝π知，A＝π－(B＋C)可得出sinA＝________，cosA＝________.而＝－，有sin＝________，cos＝________.三、三角形度量问题求边、角、面积、周长及有关圆半径等.条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：A<90°A≥90°5

3、a≥babsinAa＝bsinAaba≤b一解两解一解无解一解无解四、判断三角形的形状特征，必须深入地研究边、角间的关系1．几个常用基本结论：①a＝b或A＝B⇔等腰三角形；②a2＋b2＝c2或A＝90°⇔直角三角形；③a2＞b2＋c2或A＞90°⇔钝角三角形；④若a为最大边且a2＜b2＋c2或A为最大角且A＜90°⇔锐角三角形；⑤若sinA＝sinB⇔等腰三角形；⑥若sin2A＝sin2B⇔等腰三角形或直角三角形．2.基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：

4、①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．基础自测1．(2013·湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)A.　　　　B.C.D.解析：由2asinB＝b得2sinAsinB＝sinB，所以sinA＝，因为△ABC是锐角三角形，所以A＝，故选A.答案：A2．(2013·汕头二模)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝，△ABC的面积S△ABC＝，则△ABC的周长为(　　)A．6B．5C．4D．4＋2解析：在△ABC中，∵△ABC的面

5、积S△ABC＝＝ab·sinC＝ab·，∴ab＝4.再由余弦定理c2＝4＝a2＋b2－2ab·cosC＝a2＋b2－4，∴a2＋b2＝8，∴a＋b＝＝＝4，故△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2＝6，故选A.5答案：A3．(2012·广东六校联考)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，且B是A与C的等差中项，则sinA＝__________.解析：依题意B＝180°－(A＋C)＝180°－2B，得B＝60°，由正弦定理得＝，得sinA＝＝.答案：4．(2012·衡阳模拟)在锐角三角形ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则等于______

6、，AC的取值范围为______________．解析：设∠A＝θ⇒∠B＝2θ.由正弦定理得＝，∴＝1⇒＝2.由锐角三角形ABC得0°＜2θ＜90°⇒0°＜θ＜45°.又0°＜180°－3θ＜90°⇒30°＜θ＜60°，故30°＜θ＜45°⇒＜cosθ＜.∴AC＝2cosθ∈(，)．答案：2　(，)一、1.A＋B＋C＝π　2.a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，a－b

7、bsinC＝acsinB＝bcsinA5二、sin(B＋C)　－cos(B＋C)　cos　sin1.(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)A.　　　　　B.C.D.解析：在△ABC中，由余弦定理AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝()2＋32－2××3cos＝5.∴AC＝，由正弦定理＝得sin∠BAC＝＝＝＝，故选C.答案：C2．(2012·福建卷)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC45°，BC＝，则AC＝________.解析：在△ABC中，利用正弦定理得＝⇒＝⇒AC＝＝