《多元函数微积分》word版

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1、第六章多元函数微积分教学重点：本章重点讲授多元函数的基本概念、偏导、全微分、复合函数微分法与隐函数微分法、多元函数的极值及其求法、二重积分的计算。教学难点：本章难点为复合函数微分法与隐函数微分法、多元函数极值的求法、二重积分的计算。教学内容：在前面几章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数.但在许多实际问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系.由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题.本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学.讨论中将以二元函数为主要对象

2、，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.第1次课　　2学时本次课教学重点：空间直角坐标系、空间两点间的距离、曲面及其方程。本次课教学难点：曲面及其方程本次课教学内容：第六章多元函数微积分第一节空间解析几何简介空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就.它通过点和坐标的对应，把数学研究的两个基本对象“数”和“形”统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.本节我们仅简单介绍空间解析几何的一些基本概念，它们包括空间直角坐标系、空间两点间的距离

3、、空间曲面及其方程等概念.这些内容对我们学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标)对应起来.同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O,作三条相互垂直的数轴，依次记为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系（如下图）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种.我们通常采用右手系.第六章　多元函数微积分　　　　　第43页共43页二、空间两点间的距离三、曲面及其方程定义1　在空间直角坐标

4、系中，如果曲面上任一点坐标都满足方程，而不在曲面S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程称为曲面S的方程,而曲面S就称为方程的图形第六章　多元函数微积分　　　　　第43页共43页空间曲面研究的两个基本问题是:(1)已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;(2)已知曲面方程，研究曲面的几何形状.平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面.可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程(1.3)来表示，反之亦然.其中、、、是不全为零常数.方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线所形成的轨迹称为柱面.这条定曲线C称为柱面的准线,动直线称为柱面

5、的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌.这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面(1.4)椭圆抛物面（）双曲抛物面(与同号)单叶双曲面双叶双曲面二次锥面例3．建立球心在点、半径为R的球面方程.解：设是球面上任意一点，根据题意有特别地，当球心在原点时，球面方程变为：第六章　多元函数微积分　　　　　第43页共43页例4．求通过轴和点的平面方程.解：依题意，因为所求平面通过轴，即平面平行于轴且通过坐标原点，从而可设方程为：　　　　　　

6、　　　　　　　　（1）又因为平面过点，因此有即　　　　　　以此代入方程（1），再除以，便得到所求方程为例5．设平面在坐标轴上的截距分别为求这个平面的方程.解：由已知条件得到所求平面方程为教学组织：课后留十分钟给学生问问题，解决学生提出来的难题。作业布置：1、习题6-1　　第7、8、18、19题。本次课推荐和参考文献1、夏建业，《微积分》，兰州大学出版社，2004年2、赵树嫄，《微积分》，中国人民大学出版社，2004年3、马志敏，《高等数学辅导》，中山大学出版社，2004年课后自我总结分析：理论和实例讲解结合较好，深入浅出，学生较容易理解、掌握。第2次课2学时本次课教学重点：平

7、面区域的概念、多元函数的概念、二元函数的极限本次课教学难点：二元函数的极限本次课教学内容：第六章多元函数微积分第二节多元函数的基本概念一、多元函数的概念（1）邻域第六章　多元函数微积分　　　　　第43页共43页（2）区域第六章　多元函数微积分　　　　　第43页共43页二、多元函数的概念定义1设D是平面上的一个非空点集，如果对于内的任一点，按照某种法则，都有唯一确定的实数与之对应，则称是上的二元函数，它在处的函数值记为，即，其中x，y称为自变量，z称为因变量.点集D称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域