《多元微积分》word版

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1、第五讲多元微积分（上）考纲要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4..掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.5.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解

2、决一些简单的应用问题.7.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.8.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）.一、多元微分学概念及其关系问题1二元函数在点处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间有何关系？答首先要正确理解各概念.二元函数在点处的极限表示以任何方式趋近于，函数趋近于常数.注：若找到两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，或者找到一种趋近方式，使不存在，则可断言在点处极限不存在．如果，则称函数在点处连续.二元函数在点处对的偏导数；函数在点处对的偏导数为.注：实质上是一元函数在点处的导

3、数；70实质上是一元函数在点处的导数.如果函数在点的全增量可以表示为，其中不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即=.若函数在点可微，则全微分.二元函数在点处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系如图所示：函数在点极限存在←连续←可微←偏导数连续↙可偏导例1.证明函数在点处极限不存在、不连续，但偏导数存在且.2.证明函数在点处连续、可偏导且，但不可微.3.证明函数在点处连续、偏导数存在且、可微，但偏导数不连续.4.设函数在点的两个偏导数都存在，则（）.【C】70(A)在点连续(B)在点可微(C

4、)与都存在(D)存在5.二元函数在点处可微的一个充分条件是（）.【C】（A）（B），且（C）（D），且问题2如何求二元函数的极限（二重极限）？答求二元函数的极限是一件困难的事情，读者只要会求一些简单的极限就可以了，求这些简单极限的主要依据是：⑴一元函数极限的四则运算和幂指运算法则对二元函数成立；⑵一元函数极限的某些结论（无穷小乘有界函数、两个重要极限）对二元函数成立；⑶二元初等函数在其定义区域（包含在定义域内的区域或闭区域）内是连续的．例求下列极限：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸.二、偏导数和全微分的计算问题3如何求初等函数的偏导数（全微分）？答

5、类似一元函数，对一个自变量求偏导数，其余的自变量看作常数.例1.设，求与（98-3）解，70，，故，.2.设，求.【】问题4如何求抽象复合函数的一、二阶偏导数？答首先要正确理解和运用复合函数求导法则：设函数及都在点具有对和的偏导数，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算,.法则表明：复合函数对自变量求导必须通过所有中间变量.然后要弄清函数、中间变量、自变量，正确使用导数记号.例1.设有二阶连续偏导数，且，求.解【复合函数的二阶偏导数】，.70注⑴表示对第一个中间变量求导，表示先对第一个中间变量

6、求导，再对第二个中间变量求导，其余记号有类似含义；⑵对中间变量的偏导数，仍然是两个中间变量的函数；⑶如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.本题中，应该合并.2.设有二阶连续偏导数，有二阶连续导数，且，求.解【复合函数的二阶偏导数】，.问题5如何求隐函数的偏导数？答求隐函数的偏导数的方法有：⑴两边求导法；⑵公式法，使用时务必正确理解和运用隐函数求导公式：设函数由方程确定，则.设函数由方程确定，则，.⑶全微分法，使用时务必正确理解和运用全微分形式的不变性：无论是自变量还是中间变量，函数的全微分

7、.例1.设，可微，求.【】解【隐函数的一阶偏导数，用公式或者用两边求导法】70方程为，故.2.有连续偏导数，函数由方程所确定，证明.证【用公式法】方程为，，故.3.设，而是由方程所确定的，的函数，其中，，求.解【两个方程确定的隐函数，用全微分法】取全微分法，得，，消去，得.三、极值与最值问题6如何求二元函数的极值？答求二元函数极值的步骤是：⑴解驻点方程 得驻点；70⑵求驻点处的二阶偏导数；⑶判别：若，则是极值，且时，是极小值，时是极大值；若，则不是极值.例1.设是由确定的函数，求的极值点和极值.（04-1）解【隐函数的极值】方程两边对

8、求导，得，⑴方程两边对求导，得，⑵令，，得即代入方程，解得或者⑴式两边对求导，得，⑴式两边对求导，得，⑵式两边对求导，得，将，代入，得70，故点是的极小值点，极小值为类似可得点是的极大值点，极大值为.问题7如何求条件极值