【金版学案】届高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第十一节轨迹方程的求法文

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1、十一节　轨迹方程的求法了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.知识梳理一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、

2、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力．它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用．(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤．①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标M(x，y)；②列几何等

3、式：写出适合条件的点的集合P＝{M

4、P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；④化简：把方程f(x，y)＝0化成最简形式；⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程．除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以省略不写．如有特殊情况，可适当加以说明，步骤②也可省略．6(2)求曲线轨迹方程应注意的问题．①要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方

5、程，而且要指明曲线的位置、类型．基础自测1．(2013·衡水中学模拟)下列说法正确的是(　　)A．在△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x＝2B．方程y＝x2(x≥0)的曲线是抛物线C．已知平面上两定点A、B，动点P满足

6、PA

7、－

8、PB

9、＝

10、AB

11、，则P点的轨迹是双曲线D．第一、三象限角平分线的方程是y＝x解析：A选项中高线为线段，B选项中为抛物线的一部分，C选项中是双曲线的一支．故选D.答案：D2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)A．圆　　　　B．椭圆C．抛物线　D．双曲线解

12、析：设动点P的坐标为(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，由·＝x2，得y2＝x＋6.故选C.答案：C3．已知椭圆＋＝1的左、右两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得

13、PQ

14、＝

15、F2P

16、，则Q的轨迹方程是______________．解析：提示：用定义法求轨迹方程．答案：(x＋1)2＋y2＝16661．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有

17、正确结论的序号是____________．解析：①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处

18、PF1

19、

20、PF2

21、＝a2，关于原点的对称点处也一定符合

22、PF1

23、

24、PF2

25、＝a2；③三角形的面积S△F1F2P≤，因为S△F1F2P＝

26、PF1

27、·

28、PF2

29、sin∠F1PF2≤

30、PF1

31、·

32、PF2

33、＝.所以②③正确．答案：②③2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P

34、的方程．解析：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则＝，即

35、x0－y0

36、＝1.6∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1.∴∴r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1.∴∴r2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.综上所述，圆P的方程为