【金版学案】届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第十一节函数模型及其应用文

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1、第十一节　函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识梳理1．几类函数模型及其增长差异．(1)几类函数模型.函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠

2、0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)三种增长型函数之间增长速度的比较.y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)单调________函数单调________函数单调________函数上的单调性图象的变化随x值增大，图象与________轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近________随n值变化而不同2.解函数应用问题的步骤．(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型

3、，得出数学结论；5(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：1.(2)递增　递增　递增或递减　y　平行基础自测1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)解析：根据三种函数模型的增长速度可知，选项B正确．答案：B2．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.02.03.0y0.240.5112.023.988

4、.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋bD．y＝a＋解析：由表格数据逐个验证知，模拟函数为y＝a＋bx.故选B.答案：B53．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．解析：L(Q)＝40Q－Q2－2000－10Q＝－(Q－300)2＋2500.∴L(Q)max＝2500.答案：25004．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog

5、2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，到第7年它们的繁殖数量为______________只．解析：当x＝1，y＝100时，由y＝alog2(x＋1)得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝300.答案：3001．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0

6、≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值(精确到1辆/小时)．解析：(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝5当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝

7、100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上所述，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．2．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xc