数学选修2-1第一章常用逻辑用语典型例题含解析

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1、一．知识点回顾：1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题.2、四种命题及其相互关系四种命题的真假性之间的关系：⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3、充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；若，则是的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要

2、条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若，则是充分条件，是的必要条件；②若，但，则是充分而不必要条件;③若，但，则是必要而不充分条件;④若且，则是的充要条件；⑤若且，则是的既不充分也不必要条件.Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：①若,则是充分条件；②若,则是必要条件；③若AB，则是充分而不必要条件;④若BA，则是必要而不充分条件;⑤若，则是的充要条件；⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.4、复合命题⑴复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）.⑵复合命题的真假判断“或”形式复

3、合命题的真假判断方法：一真必真；“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.5、全称量词与存在量词⑴全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.⑵存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题：，它的否定：全称命题的否定是特称命题．②特称命题：，它的否定：特称命题的否定是全称命题.二．

4、典题训练：【例1】　判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0

5、x－2

6、<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．【例2】　若p：－20.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【例4】　写出下列命题的否定，并判断其真假．

7、(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x，x>0；(4)有些质数是奇数．例5.已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥

8、x1－x2

9、对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．例6.判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．例7.已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范

10、围．例8.已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．例题解析：例1　解　(1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．(2)∵0

11、x－2

12、<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x≤0或x≥5，则

13、x－2

14、≥3.例如当x＝－，＝<3.故否命题为假．(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b⇒a·b＝0为真命题．逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0⇒a⊥b为真命题．否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b

15、⇒a·b≠0也为真．例2　解　若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0

16、p}＝{x

17、x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x

18、3a

19、q}＝{x

20、x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x

21、x<－4或x≥

22、－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴AB，∴或，解得－≤a<0或a≤－4.故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.【例4】：　解　(1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇