【金版学案】届高考数学总复习基础知识名师讲义第六章第六节直接证明与间接证明文

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1、第六节　直接证明与间接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点.知识梳理一、直接证明1．综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)．特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法．2．分析法：分析法的推理方向是由

2、结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法．二、间接证明假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．1．反证法的解题步骤：否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论．2．反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接

3、证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立．3．反证法证明一个命题常采用以下步骤：(1)假定原命题的结论不成立；(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；(3)由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；(4)肯定原来命题的结论是正确的．即“反设—归谬—结论”．4．一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：7第一，问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；第二，命题是以否定命题的形式

4、叙述的；第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的．基础自测1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是(　　)A．t＞s　　　　　B．t≥sC．t＜sD．t≤s解析：因为s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0，所以s≥t.答案：D2．实数a、b、c不全为0是指(　　)A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c至多有一个为0D．a、b、c至少有一个不为0解析：不

5、全为“0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．故选D.答案：D3．(2012·广东六校联考)定义运算法则如下：ab＝a＋b，ab＝lga2－lgb.若M＝2，N＝，则M＋N＝__________.解析：由定义运算法则可知，M＝2＝＋＝＋＝4，N＝⊗＝lg()2－lg＝lg2＋lg5＝1，7∴M＋N＝5.答案：54．(2013·保定模拟)若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P、Q的大小关系是________．解析：分析法，要证P

6、C，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形．证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形，又因为PC⊥AB，7所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形．2．(2013·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π

7、.(1)若

8、a－b

9、＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明：由

10、a－b

11、＝，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解析：由已知条件又0<β<α<π，cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，则β＝π－α，sinα＋sin(π－α)＝1，所以sinα＝，得α＝或α＝.当α＝时，β＝(舍去)．当α＝时，β＝.1．(2013·惠州第三次调研)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1

12、D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；7(2)求证：EF⊥B1C；(3)求三棱锥VB1－EFC的体积．(1)证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则⇒EF//平面ABC1D1.(2)证明：⇒⇒⇒EF⊥B1C.（3）解析：因为CF⊥平面BDD1B1