巧用旋转法解几何题

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1、巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：E

2、F2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=B

3、C，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。6解：作MC⊥CP，使MC=CP，连接PM，BM∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC，∴⊿CAP≌⊿CBM（SAS）∴MB=AP=3∵PC=MC，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM====2，在⊿MPB中，PB2+PM2=（2）2+12=9=BM2∴⊿MPB是

4、直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+CF2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE，CF转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC是等腰直角三角形，不妨以A为旋转中心，将∠BAE和∠CAF合在一起，取零为整。A证明：过A作AP⊥AE交BC的垂线CP于P，连结PF∵∠EAP=90°，∠EAF=45°∴∠PAF=45°∵∠BAC=90°∴∠BAE=∠PAC∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=

5、∠ACP=45°∴⊿ABE≌⊿ACP（ASA）∴PC=AE，，AP=AE∴⊿AEF≌⊿APF（SAS）∴EF=PF故在Rt⊿PCF中，PF2=CF2+PC2,即EF2=CF2+AE2例4，如图4，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且∠EBF=45°，BM⊥EF于M，求证：BA=BM分析:本题与例3相同之处在于直角三角形家夹有45°角，可利用相同的方法，将∠ABE和∠CBF“化散为整”来构造全等三角形。6证明：延长FC到N，使CN=AE，连结BN∵四边形ABCD是正方形∴AB=AC，∠BAC=90°∵∠EBF=45°∴∠ABE+∠CBF=

6、45°由⊿ABE≌⊿CBN知BE=BN，∠CBN=∠ABE∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF又BE=BN，BF=BF∴⊿EBF≌⊿NBF（SAS）∴BM=BC∴BM=BA例5、如图6，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°。求证：∠ADE＝∠ADC。解析：条件中有共点且相等的边AE和AB，可将△ADE以点A为中心，顺时针方向旋转∠BAE的角度到△AFB的位置，如图7。这就使已知条件∠ABC＋∠AED＝180°和BC＋DE＝CD通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。由△ADE≌△AFB，得∠

7、AED＝∠ABF，∠ADE＝∠AFB，ED＝BF，AF＝AD。由∠ABC＋∠AED＝180°，得∠ABC＋∠ABF＝180°。所以C、B、F三点共线。又CD＝BC＋DE＝BC＋BF＝CF，故∠CFD＝∠CDF。由AF＝AD，得到∠DFA＝∠FDA。∴∠ADE＝∠AFB＝∠CFD＋∠DFA＝∠CDF＋∠FDA＝∠ADC。例6、如图，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=，PC=4，求△ABC的边长。分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中，为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC。解：把△

8、BPA绕B点逆时针方向旋转60°得到△BHC。因为BP=BH，∠PBH=60°所以△BPH是等边三角形所以∠BPH=60°，所以BP=P