巧用法向量解立体几何题

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1、巧用法向量解立体几何题李志坚传统几何法在解立体几何有时比较简单。如要证线面平行只需找到线线平行就可以解决问题，但在求二面角大小、线面所成角时难度就较大，要求逻辑思维较强，不容易解题。若这时运用向量法解题就会起到事半功倍的效果，因为向量法注重的是操作程序，是纯代数运算。下面就向量中的一种特殊向量----法向量，结合近几年的高考题从三方面谈谈法向量在解立体几何中的应用：一、应用法向量求线面所成的角：在求平面的斜线OP与平面所成的角时，设平面的法向量为n，先求n的夹角为，当为锐角时，；当为钝角时，；P例1：（2006佛山模拟卷第17题）四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三

2、角形，且与底面垂直，底面ABCD是的菱形，M为PB的中点，Q为CD的中点。z（1）求证：PACD；MQCDB（2）求AQ与平面CDM所成的角。(分析：第一小问用传统方法还是比较易证；第二小问用传统方法y解有一定难度，但用法向量就较简捷。)解：AxxxXXXXxxXXXXXxX点Q为CD中点，，底面ABCD为菱形为正三角形，，以点Q为原点，PQ所在直线为Z轴，QA所在直线为X轴，QC所在直线为Y轴，如图所示建立空间直角坐标系：A(，0,0)，P(0,0，)，C(0,1，0)，D(0，-1,0)(1)、(2)、小结：用向量法解题，关键是建立适当的直角坐标系，从而使点坐标易找，解法简

3、便，将几何问题转化为代数问题计算，达到事半功倍的效果。注意：若有等腰三角形要注意利用三线合一的条件，通常取底边中线为z轴。二、应用法向量求二面角的大小：此法是利用两平面的法向量n,m的夹角求角，但要注意两平面的法向量n,m的夹角与二面角的大小是相等或互补，所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例2：(2005年湖南卷言第18题，理第17题)如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2，求二面角O-AC-O1的大小。分析：本题找二面角O-AC-O1的平面角很难找，所以用传

4、统方法难度较大，但用法向量就容易多了。ZO1O1CDCDBOBAXYOA解：以点O为原点，OO1所在直线为Z轴，OA所在直线为X轴，OB所在直线为Y轴，如图所示建立空间直角坐标系：则A(3，0,0)，O1(0,0，)，C(0,1，)，O(0，0,0)设不妨设设不妨设三、应用法向量求点到面的距离：设的法向量，A、B分别为平面内、外的点，则点B到平面的距离为例3：如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成角为450，正三棱柱的侧棱长为，求点C到面ABD的距离。解：取BC的中点O，为正三角形，，A1Z如图，所示建立空间直

5、角坐标系：A则A(0，0，)，D(-，B(0，-1,0)，C(0,1，0)，BC1设DB1YXCO不妨设，则点C到面ABD的距离为从上面的例题我们可以看到，利用法向量解立体几何问题显示出它的优越性和灵活性，不仅会降低学习的难度，而且增强了可操作性，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理，更有利于数学的学习。