双曲线及其标准方程教案

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1、2.3.1双曲线及其标准方程导学案一．学习目标1．理解双曲线的定义。了解并建立双曲线的标准方程，确定双曲线的标准方程。2．重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；通过小组学习，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。二．教学重点、难点重点：双曲线的定义及其标准方程。难点：双曲线标准方程的建立过程及推导。【旧知复习】圆锥曲线中椭圆的定义及其标准方程。椭圆标准方程的推导方法及过程。【新知探究】探究一、平面内与两个定点、的距离的和等于非零常数(大于)的点的

2、轨迹叫做椭圆。思考平面内这平面内与两个定点、的距离的差等于非零常数的点的轨迹又是什么曲线？F2F1MF1F2M利用课件来演示得到满足这样条件的曲线：点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为2a，=2

3、MF1

4、-

5、MF2

6、=—2a

7、MF1

8、-

9、MF2

10、=2a类比椭圆的定义，写出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于<

11、F1F2

12、）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．数学简记：（）探究二、1、双曲线定义中的条件“非零常数2(小于)”去掉后，点的轨迹有是什么曲线呢？当

13、2=0时，轨迹是线段的垂直平分线.当2﹤2时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是以、为端点的反向的两条射线当2﹥2时，轨迹不存在2、双曲线定义中的关键词“绝对值”能否去掉，去掉后结果怎样？定义中“差的绝对值”中“绝对值”去掉，点的轨迹为双曲线的一支.当时，曲线仅表示与焦点所对应的一支；时，曲线仅表示与焦点所对应的一支.探究三、类比椭圆标准方程的建立及推导过程，试推导双曲线的标准方程？第一步：建立直角坐标系；以两定点、所在直线为轴，的中垂线为轴建立坐标系.第二步：设点：设动点是双曲线上任意一点，设，则，，又设与、的距离的差的绝对值等于.第三步：启发学

14、生根据定义写出M点的轨迹构成的点集：；第四步：建立方程：第五步：化简，，令（），得，即得到我们得到了焦点在x轴上，且焦点是和的双曲线标准方程为，这里以所在的直线为轴，的中垂线为轴建系，那么得到焦点在y轴上即，为焦点的双曲线标准方程为（其中，，）.【思考】椭圆与双曲线标准方程的区别？名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即标准方程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根

15、据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关系（符合勾股定理的结构），最大，（符合勾股定理的结构）最大，可以四．例题讲解【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为、，双曲线上一点P到、的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为，因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。所以，所以所求双曲线的标准方程为。【变式】已知两个定点的坐标为、，动点P到、的距离的差等于6，求P点的轨迹方程。解：因为，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为，因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。所以，所以所求P点的

16、轨迹方程为例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.【自测题目】1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上，，.（2）焦点在轴上，经过点，.（3）焦点为，，且经过点.解：（1）；（2）（3）.【练习1】已知方程表示双曲线，则m的取值范围是_________，此时双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；【变式】若将9改成，则m的取值范围是_____。解：当方程表示双曲线时，，解得或.【练习2】双曲线上一点到焦点的

17、距离为15，那么该点到另一个焦点的距离为_7或23__。【变式1】双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离.解：双曲线可化为，∴.∴，，或（舍去）.【变式2】双曲线上一点到焦点的距离为17，那么该点到另一个焦点的距离为_33__。【学习评价】自我评价你完成本节导学案的情况为（）A．很好B．较好C．一般D．较差