向量法的两难选择

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1、向量法的两难选择　　中图分类号：G623.5　　向量法在解决立体几何问题解决中起关键作用，如解决线线角、线面角、面面角的计算问题，但是向量法不一定比传统推理方法优越，有时会变得更复杂、难以运算与证明。本文详细分析“该用不用，不该用却用”向量法的形成原因，并探究有效的教学策略去克服向量法解题的思维定势。　　1.问题的提出　　（l）如右图，在长方体ABCD―中，己知　　AB=4，AD=3，=2，E、F分别是线段AB、BC　　上的点，且EB=FB=l　　（I）求二面角C―ED一的正切值.　　（II）求直线直线

2、E与F　　（2）如图所示，在四面体P―ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=，10，AC=8，PB=2，F是线段PB上一点，CF=，点E在线AB上，且EFPB.　　（I）证明：；　　（I1）求二面角B-CE-F的大小，　　从上面两道高考题的解题难度来分析，前题难后　　题易，但考生得分却是前题高后题低。为什么会出现　　这种反差现象呢？笔者认为：是否用向量法在解题中起　　关键性作用。7　　（1）题可从建立空间直角坐标系入手，采用向量法容　　易解决；　　（2）题的第一问不宜用向量法，可用传统立几推理方法，

3、第二问却需要用法向量的概念解题。许多学生纷纷提出疑问：在立几运算与证明申，如何选择传统方法和向量法？如何避免和克服"该用不用，不该用却用"的困难呢？　　2.原因分折　　上述两道高考题不仅考察了考生关于立体几何问题的解决能力，同时也体现了考生在运用向量法解决立几问题的困境。为什么会出现“向量法的两难选择”问题呢？究其原因，主要有以下两个：　　2.1教师教学的急功近利　　无可否认，向量法的引入给师生们带来了许多解题惊喜。特别对于一些较复杂的立几计算与证明题，过去采用传统几何方法都显得很吃力，而现在运用向量法

4、则简捷利便，这就促成了教师的教学失策――“立体几何题，首先要考虑向量法，即要建立直角坐标系，这样解题才容易。”事实上，向量法是一种很好的解题工具，但有时并不是唯一最简化的立几解题方法，并且有时会变得更复杂、难以运算，大大地降低了解题效率。例如解上述高考题（2）时，许多学生在证明第1问时“想当然”地建立空间直角坐标系，以C点为原点，以CB、CA所在直线为X、y轴，作z轴//PA，建立空间直角坐标系C一XYZ，则各点坐标为C（O，0，0），A（0，8，0），B（6，0，o）.7P（0，8，6），根据题目己知

5、条件由CF的长度却难以计算点F的坐标，此时用向量法证明第1问难以完成。这种常见的高考应试解题训练存在着一些弊端，教师急功近利的教学意识有必要减弱。　　2.2思维定势的消极影晌　　所谓思维定势，是指思维的定向准备状态，它使人习惯于按照己有的方式或固定的思路去思考和处理问题。思维定势具有两重性：一方面，当学生已掌握的知识、技能有利于促进学习新知识、新技能，产生知识的正迁移作用，为其积极的一面；当学生已掌握的知识、技能妨碍或干扰学习新知识、新技能时，产生负迁移，为其消极的一面。具体来说，学生一见到立体几何题就

6、习惯用向量法解答产生消极的影响，立几解题中反复运用向量法往往会形成方法定势，学生不容易改变思维方向，不能从多种角度全面地、整体地看问题。　　向量法在解决立体几何问题解决中起关键作用，如解决线线角、线面角、面面角的计算问题以及证明有关线、面位置关系的性质定理。但是，传统几何推理方法更不可忽视，它充分体现了学生的逻辑思维能力，而且解答方式多样，灵活简便。学生对向量法“该用不用，不该用却用”的做法正是方法模式一成不变所导致的错误，解题方法单一，不求简化，思维僵化。在过分强调向量法的解题功能的教学环境下，学生不

7、知不觉地形成了“一见立几就建坐标系”解题思维模式，而把传统的几何推理方法（取中点、作平行线、添作辅助线等）忘得一千二净，造成解答过程复杂化，自陷困境。其实上述（2）题第1问利用同一法证明PB垂直于CF即可。　　3.教学对策　　在“空间向量与立体几何”7教学实践中，我们该如何恰当选择向量法解题？向量法是否一定比传统推理方法优越吗？教师应如何引导学生克服消极的“惯性解题思想”呢？下文将结合教学实例作进一步探究有效的教学对策。　　鉴于思维定势作用的双重性，在教学实际中，教师既要培养学生解决类似问题的心向，又要

8、引导学生在遇到习惯方法难以解决有关问题时积极地从其他角度来思考。只有这样，才能充分利用思维定势的积极作用，提高知识迁移的效果。因此，针对“用向量法解立几问题”出现的两面影响，教师应指导学生注意选择向量法与传统几何推理方法，设法克服思维定势的消极作用。具体教学策略大致如下：　　3.1在同一知识教学中，加强变式训练，重视灵活运用　　为了打破思维定势，教师不仅要使学生熟悉某一数学知识的基本形象，还要帮助学生掌握它的各种变形，从而培养学生的解题能力