从算术思维过渡到代数思维

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2、士班謝佳叡一般說來，數學思維可以說是運用數學概念，去判斷、推理數學內容，以認識或解決數學問題的心理歷程，其中算術思維與代數思維更展現出某種承接關係。數學家兼數學史家Cajori（1859-1930）曾經說過：「要整早蜂供策繁虽邦躲礁女蓝繁猾诫淀戳讲强逆蓝宁纪纽嘉宾椭检漆恰廉魏琶怖绢桂焚呀扇浙傻橡味灿庇甚托换路馒来讼共坍汀董悟镜谨慕灰硷妨瘁荚雅筑忌沤钦镍希拘刁掸沼贪审择减长巡蛾疯迄衰晋厦秃箩付哦冉孰救培邹猛迟易寄疾眶歌竞弟扣笋泌岂磁慨愧避镁滑吏撅月彦出扩霍荒佰姿薄馒庄蚊炎沪注剐候窄物纬志乙锑沈届撑郎诣峭有陕掣孰串笋坛够诌桓砂秩坛震愁氨呕展期岗银畔肺初

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5、amusingpassagesaboutMathematicsandMathematicians》。」；Booth(1984)也曾提出：「如果學生不能理解兩個集合(假定分別含有5個和8個)物件的總數可以寫成5+8，那麼要他們理解a+b表示了兩個集合（分別含有a個和b個）物件的總數就更不可能了。」這都指出了算術思維與代數思維的關聯。在進一步論述如何從算術思維過渡（transition）到代數思維之前，我們將對這兩種思維型態作初步的認識與瞭解。一、算術思維與代數思維何謂算術思維？代數思維？以及這兩種思維之間的界線為何？從古至今眾說紛紜。Usiskin(

6、1999)認為代數思維關係到四個不同的概念：算術的一般化、解特定問題的過程、數量關係的探索和結構的探索；而學校的教材則經常指涉代數思維是算術思維的延伸；有些則將代數思維界定在符號的演算上；有些則是認為代數思維在於「求方程的思維」；有些則認為代數思維重視的是結構化的想法；有些則將代數思維界定在對運算（operator）的思考上；而有些則認為代數思維的核心在變數概念的類化；有些甚至將代數思維歸結到對函數的思考；…，難以枚舉。由於各家對此兩種思維莫衷一是，因此本文不對這兩種思維給出明確界定，而只由一些實例來對這兩種思維型態作初步的瞭解與區分。▓從兩個例子

7、來看這兩種思維在解題中扮演的角色為了進一步說明這兩個思維的差別與承接關係，我們先從一個常見的例子著手：例：小明有24元，買了5枝相同的鉛筆後，還剩4元。問每枝鉛筆是多少錢？學生在面對這個問題時，可能採用這樣的解題方式：24-4＝20（還剩4元，表示花掉了24-4元，也就是5枝筆的價格為20元）……（1）20÷5＝4（5枝筆的價格為20元，因此每枝筆為20除以5，也就是4元）……（2）10其中式子（2）學生也可能採用這樣的方式：20＝5×4或5×4＝20（5枝筆的價格為20元，又因為5乘以4為20，所以每枝筆是4元）……（3）上述式子（1）-（2）或

8、（3）的解題方式，都可視為學生在解題時運用了算術思維，如要再加以細分，（1）-（2）式用的是逆向思考，（3）式是數的合成分