代数(算术)思维与几何思维

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1、·第三章代数（算术）思维与几何思维“就几何和代数的学习而言，我们究竟应当采取‘分割’的作法，还是应当采取‘整合’的路子？”“当然，我们不应停留在纯粹的理论争论，而应积极地开展相应的实践活动；但是，就现实而言，有些问题之所以始终长期‘悬而未决’，其主要原因并不在于缺乏必要的实践，恰恰相反，这在很大程度上即是表明了相应的理论研究尚未达到应有的深度。※我就是这样常常实践，却不思考理论的指导意义。事实上，如果在理论的指导之下再进行实验，可以少走很多弯路。在我重读《课程标准》之后，我对分层教学实践活动的认识又深了一层。对理论的渴望重新上升到新的高度。※小学教材中“数与代数”、“空间与

2、图形”是怎样“整合”在一起的？每一册中，以“单元”为单位，相对独立地呈现；以习题为形式，把这两大内容适时地综合。3.1“凝聚”：算术与代数思维的基本形式所谓“凝聚”（encapsulation），笼统地说即是指由“过程”（process）向“对象”（entity）的转化。具体地说，在数学，特别是算术和代数中，有不少概念在最初是作为过程得到引入的，但最终又转化成了对象——对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算（对于所说的“运算”，应作广义的理解，即其未必是指具体的运算，也可包括任何一种数学运作，甚至不一定要有明确的算法。）“凝聚”这一概念在

3、数学教育领域中出现应当是是近一二十年的事；需强调的是，这又应被看成数学学习心理学、乃至数学教育专业化发展的一个重要成果，因为，相关的研究清楚地表明了这样一点：数学学习心理学（数学教育）不应被看成一般的学习心理学（一般教育理论）在数学教育领域中的简单应用，恰恰相反，我们应当切实立足于实际的数学教学与学习活动，并通过相对独立的研究引出自己的理论成果。毋宁说，我们所反对的主要是这样一种简单化的观点，即是讲“数学学习心理学”（数学教育学）简单地等同于“一般学习心理学（一般教育学）+数学的例子”，也即只是在一般学习心理学（教育学）的理论框架中简单地去嵌入若干数学的实例，因为，数学学习

4、心理学（数学教育学）如有独立存在的必要，显然应当特别重视数学学习活动（与数学活动）的特殊性。“Encapsulation”，把它翻译成“凝聚”，总觉得很生涩，好在有英语单词，查了一下：1、名词n概括；2、封装、封闭、密封；3、包胶。虽然我也没有找到一个更好的词来表达这个英语单词，但多少对它有了更深的了解。例如，加减法就其最初的含义而言显然都应被看成一种过程，也即代表了这样的“输入——输出”过程：由两个加数（被减数与减数）我们就可以求出相应的和（差）。然而，随着学习的深入，这些运算已不再仅仅被看成一个过程，而也被认为是一个特定的数学对象，我们并可具体地去指明它们所具有的各种性

5、质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，就经历了一个“凝聚”的过程，也即由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。道尔给出的一个表格让我清楚地看懂了过程与对象，只是感觉好像“比值”和“比”的位置不对。因为曾经做过校对，这次不知是我自己错还是编辑错。尽管在小学数学的学习过程中学生已经多次经历了由“过程”到“对象”的重要转变，从而也就清楚地表明了这一思维过程的基本性，但是，对于后者我们又不应简单地等同于思维过程的简单性；恰恰相反，由于所说的转变常常是在不自觉的情况下得到实现的，因此，这就十分清楚地表明了由“经验型”转向“理论指导下的自觉实践”的重要性。特别是，

6、只有以相关的理论成果去知道我们的教学，才能使后者成为一种真正的自觉行为，从而也才可能取得更好的教学效果。以下就是这一方面最为重要的一些研究成果。一、“凝聚”的三个阶段作为“凝聚”这一思维活动的具体分析，以色列著名数学家斯法德提出了如下的“三阶段说”，即是认为对于这一思维过程可以作出如下的进一步细分：（1）内化（interiorization）;(2)压缩（condensation）；（3）客体化（reificationorobjectification）具体地说，其中的前两个阶段，即“内化”和“压缩”可以被视为由“过程”向“对象”转变的必要准备：前者是指用视觉去把握原先的视

7、觉性程序，这也就是说，我们已不再是由前一个步骤一次实际地去启动下一个步骤，而是在头脑中建立起相应过程的整体性心理表征；后者则是指相应的过程被压缩成了一个更小的单元，从而我们就可以从整体上对所说的过程作出描述或进行反思——我们不仅不需要实际地去实施相关的运作，也可从更为抽象的高度去对整个过程的性质作出分析，即如我们可以仅仅考虑整个运作的效用，而不必具体地去涉及相应的运算过程，甚至也不必实际地完成相关的运算。最后，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，也即是用一种新的见解去看一件熟悉的事物：原先的过程现在变