圆中的动点问题

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1、圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠

2、后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．【答案】解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2。②当经过圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A．OA．O′B，OB，OO′。∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。∴的长度。③如图3所示，连接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB为等边三角形。过点O作OE⊥AB于点E，∴OE=OA•sin60°=。（2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，过点O作

3、EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。根据垂径定理及折叠，可知PH=PE，PG=PF。又∵EF=4，∴点O到AB．CD的距离之和d为：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2。②如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：设O′，O″为和所在圆的圆心，∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称，∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点。∵折叠后的与所在圆外切，∴连心线O′O″必过切点P。∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，∴O′P=O″P

4、=2，∴PM=OO″=ON，PN=OO′=OM，∴四边形OMPN是平行四边形。【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。【分析】（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度。②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可。③如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距

5、离。（2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。变式一如图是一圆形纸片，AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后，劣弧BC与AB交于点D，得到．ODCAB（1）若＝，求证：必经过圆心O；（2）若AB＝8，＝2，求BC的长．变式二如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．（1）求∠BAC的度数；（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四

6、边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．题型二：圆中的旋转问题例题二(2011湖南常德,25.10分)已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆，P是AB的中点。（1）如图8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使，则有结论①.②四边形是菱形。请给出结论②的证明；（2）如图9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；（3）如图10，若PC是⊙的切线，求证：（1）∵BC是⊙O2直径，则O2是BC的中点又P是AB的中点．，∴PO2是△ABC的中位线∴PO2＝AC又AC是⊙O1直

7、径∴PO2＝O1C＝AC同理PO1＝O2C＝BC∵AC＝BC∴PO2＝O1C＝PO1＝O2C∴四边形是菱形（2）结论①△PO1E≌△PO2F成立，结论②不成立证明：在（1）中已证PO2＝AC，又O1E＝AC∴PO2＝O1E同理可得PO1＝O2F∵PO2是△ABC的中位线∴PO2∥AC∴∠PO2B＝∠ACB同理∠PO1A＝∠ACB∴∠PO2B＝∠PO1A∵∠AO1E＝∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E＝∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E＝∠FO2P、∴△EO1P≌△PO2F；（3）延长AC交⊙O2于点D，连接BD．∵BC是⊙O2