抛物线性质归纳、证明和应用

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1、抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例．一、焦半径、焦点弦性质如图，AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AD、BC是准线的垂线，垂足分

2、别为D、C，M是CD的中点，N是AB的中点．设点A(x1，y1)、点B(x2，y2)，直线AB交y轴于点K(0，y3)，则：K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF(，0)A(x1，y1)xyHGx＝－qNQ⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝；④

3、AB

4、＝x1＋x2＋p＝（q为AB的倾斜角）；⑤S△OAB＝，S梯形ABCD＝..⑵＋＝；⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠；⑷AM、BM是抛物线的切线；⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线；⑹AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点；⑺A、O、C三

5、点共线，B、O、D三点共线；⑻若

6、AF

7、：

8、BF

9、＝m：n，点A在第一象限，q为直线AB的倾斜角.则cosq＝；⑼以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切.⑽MN交抛物线于点Q，则，Q是MN的中点.第24页★⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝④

10、AB

11、＝x1＋x2＋p＝（q为AB的倾斜角）；⑤S△OAB＝，S梯形ABCD＝.【证明】设过焦点F(，0)的AB的直线方程为x＝my＋，代入抛物线方程y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0，因此CDB(x2，y2)RA(x1

12、，y1)xyOF(，0)q图1①y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm.另由⑶得在Rt△CFD中，FR⊥CD，有

13、RF

14、2＝

15、DR

16、·

17、RC

18、，而

19、DR

20、＝

21、y1

22、，

23、RC

24、＝

25、y2

26、，

27、RF

28、＝p，且y1y2＜0∴y1y2＝－p2.②又点A、B在抛物线上，有x1＝，x2＝，因此x1x2＝·＝＝.③＋＝＝＝－，在直线AB方程x＝my＋中令x＝0，得y3＝－，代入上式得＋＝④【证法一】根据抛物线的定义，

29、AF

30、＝

31、AD

32、＝x1＋，

33、BF

34、＝

35、BC

36、＝x2＋，

37、AB

38、＝

39、AF

40、＋

41、BF

42、＝x1＋x2＋p又

43、AB

44、＝＝

45、

46、y2－y1

47、＝＝＝2p(1＋m2)当m≠0时，m＝＝＝，有1＋m2＝1＋＝（k为直线AB的斜率）CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOqA1B1F图2当m＝0时，q＝90°，1＋m2＝1也满足1＋m2＝∴

48、AB

49、＝2p(1＋m2)＝.【证法二】如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么

50、RF

51、＝

52、AD

53、－

54、FA1

55、＝

56、AF

57、－

58、AF

59、cosq，∴

60、AF

61、＝＝同理，

62、BF

63、＝＝第24页∴

64、AB

65、＝

66、AF

67、＋

68、BF

69、＝＋＝.【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为r＝，则

70、AF

71、＝r1＝

72、，

73、BF

74、＝r2＝＝.∴

75、AB

76、＝

77、AF

78、＋

79、BF

80、＝＋＝.⑤S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝

81、OF

82、

83、y1

84、＋

85、OF

86、

87、y1

88、＝··(

89、y1

90、＋

91、y1

92、)∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，

93、y1

94、＋

95、y1

96、＝

97、y1－y2

98、∴S△OAB＝

99、y1－y2

100、＝＝＝＝.又∵

101、CD

102、＝

103、AB

104、sinq＝，

105、AD

106、＋

107、BC

108、＝

109、AB

110、＝.∴S梯形ABCD＝(

111、AD

112、＋

113、BC

114、)·

115、CD

116、＝××＝.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·＝（）A.B.－C

117、.3D.－3【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝.【解】由性质⑴得

118、AB

119、＝＝＝8，∴p＝＝4.★⑵＋＝【证法一】由⑴x1x2＝，且

120、AF

121、＝x1＋，

122、BF

123、＝x2＋.∴＋＝＋＝＝＝＝＝【证法二】由

124、AF

125、＝r1＝，

126、BF

127、＝r2＝＝.∴＋＝＋＝＋＝第24页【例3】（2000全国）过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛

128、物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则＋等于（）A.2aB.C.4aD.【解】由y＝ax2得x2＝y，（抛物线焦点到准线的距离为），由此得＋＝4a，故选C.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3★⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠，先证明：∠AMB＝Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则△ADM≌△ECM，∴

129、AM