欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:24585234
大小:587.24 KB
页数:24页
时间:2018-11-15
《抛物线性质归纳、证明和应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、``抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线(定点在定直线外)的距离的点的轨迹,它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线,它只有一支(双曲线有两支),只有一条对称轴,没有渐近线和对称中心,属于无心曲线.抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩,此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨,抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点,这里就它的一些性质加以归纳,说明和证明,及其在历年高考和模拟考试出现的典例.一、焦半径、焦点弦性质如图,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,AD、BC是准线的垂线
2、,垂足分别为D、C,M是CD的中点,N是AB的中点.设点A(x1,y1)、点B(x2,y2),直线AB交y轴于点K(0,y3),则:K(0,y3)CMDB(x2,y2)ROF(,0)A(x1,y1)xyHGx=-qNQ⑴①y1y2=-p2;②x1x2=;③+=;④
3、AB
4、=x1+x2+p=(q为AB的倾斜角);⑤S△OAB=,S梯形ABCD=..⑵+=;⑶∠AMB=∠DFC=Rt∠;⑷AM、BM是抛物线的切线;⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线;⑹AM、DF、y轴三线共点,BM、CF、y轴三线共点;⑺
5、A、O、C三点共线,B、O、D三点共线;⑻若
6、AF
7、:
8、BF
9、=m:n,点A在第一象限,q为直线AB的倾斜角.则cosq=;⑼以AF为直径的圆与y轴相切,以BF为直径的圆与y轴相切;以AB为直径的圆与准线相切.⑽MN交抛物线于点Q,则,Q是MN的中点.`````★⑴①y1y2=-p2;②x1x2=;③+=④
10、AB
11、=x1+x2+p=(q为AB的倾斜角);⑤S△OAB=,S梯形ABCD=.【证明】设过焦点F(,0)的AB的直线方程为x=my+,代入抛物线方程y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因此CDB(x2
12、,y2)RA(x1,y1)xyOF(,0)q图1①y1y2=-p2,y1+y2=2pm.另由⑶得在Rt△CFD中,FR⊥CD,有
13、RF
14、2=
15、DR
16、·
17、RC
18、,而
19、DR
20、=
21、y1
22、,
23、RC
24、=
25、y2
26、,
27、RF
28、=p,且y1y2<0∴y1y2=-p2.②又点A、B在抛物线上,有x1=,x2=,因此x1x2=·==.③+===-,在直线AB方程x=my+中令x=0,得y3=-,代入上式得+=④【证法一】根据抛物线的定义,
29、AF
30、=
31、AD
32、=x1+,
33、BF
34、=
35、BC
36、=x2+,
37、AB
38、=
39、AF
40、+
41、BF
42、=x1+x
43、2+p又
44、AB
45、==
46、y2-y1
47、===2p(1+m2)当m≠0时,m===,有1+m2=1+=(k为直线AB的斜率)CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOqA1B1F图2当m=0时,q=90°,1+m2=1也满足1+m2=∴
48、AB
49、=2p(1+m2)=.【证法二】如图2,过A、B引x轴的垂线AA1、BB1,垂足为A1、B1,那么
50、RF
51、=
52、AD
53、-
54、FA1
55、=
56、AF
57、-
58、AF
59、cosq,∴
60、AF
61、==同理,
62、BF
63、==`````∴
64、AB
65、=
66、AF
67、+
68、BF
69、=+=.【证法三】极坐标法,设抛物线的极坐标方
70、程为r=,则
71、AF
72、=r1=,
73、BF
74、=r2==.∴
75、AB
76、=
77、AF
78、+
79、BF
80、=+=.⑤S△OAB=S△OAF+S△OBF=
81、OF
82、
83、y1
84、+
85、OF
86、
87、y1
88、=··(
89、y1
90、+
91、y1
92、)∵y1y2=-p2,则y1、y2异号,因此,
93、y1
94、+
95、y1
96、=
97、y1-y2
98、∴S△OAB=
99、y1-y2
100、====.又∵
101、CD
102、=
103、AB
104、sinq=,
105、AD
106、+
107、BC
108、=
109、AB
110、=.∴S梯形ABCD=(
111、AD
112、+
113、BC
114、)·
115、CD
116、=××=.【例1】(2001年新课程高考文)设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A
117、、B两点,则·=()A.B.-C.3D.-3【解】设A(x1,y1),B(x2,y2),则·=x1x2+y1y2=-p2=-,故选B.【例2】(2009年福建理)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=.【解】由性质⑴得
118、AB
119、===8,∴p==4.★⑵+=【证法一】由⑴x1x2=,且
120、AF
121、=x1+,
122、BF
123、=x2+.∴+=+=====【证法二】由
124、AF
125、=r1=,
126、BF
127、=r2==.∴+=+=+=`````【例3】(2000全国)过抛物线y
128、=ax2(a>0)的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则+等于()A.2aB.C.4aD.【解】由y=ax2得x2=y,(抛物线焦点到准线的距离为),由此得+=4a,故选C.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFENM图3★⑶∠AMB=∠DFC=Rt∠,先证明:∠AMB=Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图3,则△ADM≌△ECM
此文档下载收益归作者所有