二面角的几种求法.doc

《二面角的几种求法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、二面角的几种求法4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1：如图2所示，在四面体中，,,。求二面角的大小。图2分析：四面体的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。解：设线段的中点是，接和。根据已知的条件，，可以知道且。又是平面和平面的交线。根据定义，可以得出：即为二面角的平面角。可以求出，，并且。根据余弦定理知：即二面角的大小为。同样，例2也是用概念法直接解决问题的。例2：如图3所示，是正方形，，，求二面角的大小。图3解：作辅助线于点，连接、。由于，，所以。即。由于，所以即为所求的二面角的大小。

2、通过计算可以得到：，，又，在三角形中可以计算得到。由此可以得到：，又。由余弦定理：即：。4.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。例3：如图4所示，现有平面和平面，它们的交线是直线，点在平面内，点在平面内。求二面角的大小。图4分析：过点作辅助线垂直于，作垂直于平面于点。4.2.1补角法直接求解二面角的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角。因为二面角与二面角是互补的关系，现在先求出二面角后，二面角的大小就很容易计算了。4.2.2三垂线法由于，平

3、面。那么根据三垂线定理可以得知：在平面内的射影垂直于两平面的交线。即且，根据定义可知，二面角的大小即为的大小。那么二面角的大小可以用补角法得到。4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面垂直于两个平面的交线，平面与平面的交线是，平面与平面的交线是，根据二面角的定义知即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角的大小。下面用例4来详细讲解一下切平面法。例4：在图5中，，。其中，。是的中点，。求二面角的大小。图5解：由于是的中点，且是等腰三

4、角形，那么。又，可以推出：。所以：。又，则，所以。可以得出：是和的公共切平面。由此，根据切平面法知即为所求二面角的平面角。由于，那么：，。又：。在三角形中根据余弦定理可知：那么。即求二面角的大小是。4.2.4补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。例5：在图6中，，四边形是一个直角梯形，其中，，，。。求平面与平面所成二面角的大小。图6解：延长直线与，它们相交于点，连接。由题意可知，平行于，的长度是的一半，且，，那么，，，。在三角形中，，。那么根据勾股定理可知，即。，，且

5、是在平面内的射影，根据三垂线定理知：。又，即即为所求的二面角。在中，，，。那么。即：所以平面与平面所成二面角的大小是。在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。4.3空间向量法4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为，那么的取值范围是。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角的取值范围是。但是我们可以利用两个

6、平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下：如果，。（1）如果，。（2）因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。4.3.2平面法向量的求法两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示：例6：如图7所示在平面内，已知三点，，。图7下面求解平面的一个法向量。解法一：求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即：又，

7、可以求出：解法二：设平面的方程为将点，，的坐标分别代入方程可以解出系数，，，。在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解，如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将，，全部用表示，这样就可以得到一个形如的方程，可以将新得到的方程两边同时除以（，否则，方程无意义），那么就可以得到平面的方程。得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标。解法三：在图7中，由所给的信息，可以求出向量、的大小。设平面的一个法向量。若，。由，可以得到：可以求解出，，的关系。此方程一定有无数多个解，可以将，用表示。如，由此可知

8、向量是平面的一个法向量。4.3.3两平面夹角的公式两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为，其中。于是：4.3.4两平面的夹角转化成二面角利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据（1