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1、椭圆的极坐标方程及其应用如图，倾斜角为沒且过椭圆+的右焦点尺的直线/交椭圆C于凡（2两点，椭IaZrC的离心率为e,焦准距为厂，请利用椭圆的第二定义推导并证咏PF2qf2为定值例2.（07年伽已知椭圆++I过凡的直线交椭圆于儿C两点，且AC丄BZ）,垂足为P,求四边形ASCD的面积的最值..21的左、右焦点分别为f,F2.过f的直线交椭圆于汉£＞两点改为：抛物线＞，2=2/u（/?〉0）呢?练习2.（05年全国IBP、Q、M、"四点雛楠圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知&与0共线，与^线，且&•^=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.9例1.（10年全国II
2、）己知椭圆（；：~+人=1^/〉/?〉0）的离心率为ab一2过右焦点F且斜率为〉0）的A,B两点，直线/的倾斜角为60°，亞=2河，求椭固C的离心率;例3.（07年重庆理）如图，中心在原点0的椭圆的右焦点为厂（3,0）,右准线/的方程为X=12.（I）求椭圆的方程；（II）在椭圆上任取三个不同点f，P2,使ZP、FP2=ZP2FP3=ZP3FP”证明：++为定值，并求此定值.IFPJFP2\FP3yAr2v2推广：己知椭圆^十3a一=1(“〉6〉0),F是椭圆的右焦点,在椭圆上任取"个不同点，…，若"1n=…=乙P“FPn=ZPnFPlf^i=一，你能证明吗？l^
3、PFiep22练习3.(08年福建理科)如图，椭圆~+^=1(6/〉/7〉0)的一个焦点是/：(1,0)，O为坐标原点.6rb一(I)己知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(II)设过点F的直线/交椭圆于A、S两点.若直线/绕点f任意转动，值有
4、04
5、2+
6、(95
7、2<
8、4糾2,求0的取值范围.作业r(OS=标原点，则△045的面积为.作业2.(09年全国，)己知椭圆C：f+/=1的右焦点为F，右准线，，点什，，线段AF交C于点B。若河=3風求W。作业3.（IS年四市二模）如图，在平面直角坐标系；中，四边形z45CD的顶点都在椭圆22i+t二1
9、（“〉/?〉0）上，对角线AC与分别过椭圆的左焦点G（-1，0）和右焦点厂2（1，0）,且4C丄椭圆的一条准线方程为x=4（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCZ）面积的取值范围。练习4.（08年安徽文）己知椭圆C:i+4=l（f/〉/?〉0），其相应于焦点F（2,0）的准线方程为x=4.erb“（I）求椭圆c的方程；（II）己知过点&（-2,0｝倾斜角为e的直线交椭圆C于4,S两点.求证：
10、圳=4A;112-cos'e（III）过点FU-2,0）作两条互相垂直的直线分别交楠圆C于点4、S和D、f,求+的最小值.作业S.己知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足亞
11、=3而，求弦AB的中点到准线的距离.参考答案:解析：设7,，‘.•X?5=3fTt，？j,=-3y1,.X*..e=〜3•^ta=2t,c=Vr3"t,b=t,?.xi+4y1-4t1=0.二•&线AB方租为t,代入消去+4)y+2V了aty-t=0，2VTstt、2>/T«t.»••7i+y产-—UF—T-，-2y产--i，-打1=—g+4a+4a+4」上工•••解得cosQ='•、tBPk-tanG=V^2"0例1.3.-vTbX(c-2a)vAf=2F^^——=■t且⑼a0=丄1-^cos01+ecoftG2_.•.解得6=三.练习1.3例2.(n)以f,为极点，
12、*轴正方向的射线F.X为极轴建立极坐柝系，则椭圆$+=l(a>6>0)的极坐标方程为p=为离心率，P为焦点到相应准线的距离).不妨没Z4F.X=0(0°C90°)，由4C丄flD,得ZHF.x=^+90°,ZCF.x=+180°,ZDF.x=0+270°.从1XF,1=1垂了⑽枝，•flF,1=1-ecos%4-90°)»I.4CI=I/IF,1+1F,CI=ep1-ecos(0+270c2epsin*0，于是S1CF,1=1-ec«s(^+180°)*1DF,1=r-'eco»(0+270°)’2ep—2e2p21—e2sinJ01-+^4sin26coa2d，令x=s
13、in2^(0cx<1-e2+sin2201).则s=—^4—②.注意到②式1—+—e4x4在［0,1］上单调递减，及e=故arc当x=1吋,四边形4的面积ft小,最小值为二;当*=0时，四边形XflCD(a+ftJ的面积最大，烺大值为262.当'=3,A2=2时，四边形ABCD的面积的ft小值和最大值分别为§和4.综上，四边形？tflCD的面积的最小值为§.解：问题等价于如ffl所示椭圆中四边形的面积.=0+^-练习2..ZQOX=0+冗，ZNOX=e+A
14、OPAIOQepI一ecosep1一^cos(n^)IK3I=
15、QP1
