容斥原理习题加答案

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1、1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有(　　)　　A、27人　　B、25人　　C、19人　　D、10人　　【答案】B　　【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B　　得A∩B=25，所以答案为B。　　2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（　　）　　A、15　　B、25　　C、35　　D、40　　【答案】C　　【解析】这是一种新题型，该种题

2、型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。　3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（　 ）　　A．120　　B．144　　C．177　　D．192　　【答案】A　　【解析】本题画图按中路突破原则，先填

3、充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：　　根据每个区域含义应用公式得到：　　总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数　　＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15　　＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15　　根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.　4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢

4、看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（　　）　　A.22人B.28人C.30人D.36人　　【答案】A　　【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：　　根据各区域含义及应用公式得到：　　总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数　　100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人

5、。 5.某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?　　解：设A={数学成绩90分以上的学生}　　B={语文成绩90分以上的学生}　　那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，　　∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38　　现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得　　∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8　　点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求

6、解。　　6.某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?　　解：设A={打篮球的同学};B={跑步的同学}　　则A∩B={既打篮球又跑步的同学}　　A∪B={参加打篮球或跑步的同学}　　应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)　　　　7.某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人;三个小

7、组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?　　解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}　　由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18　　∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2　　根据容斥原理二得：　　∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C

8、-∣B∩C

9、+

10、A∩B∩C∣　　=23+27+18-(4+5+7)+