第5讲 加乘原理与容斥原理

《第5讲 加乘原理与容斥原理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、小升初分班考讲义专题五（1）加乘原理一、加乘原理1、加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有种不同的方法，第二类方法中有种不同的方法…….第n类方法中有种不同的方法。那么，完成这件事共有：种不同的方法。2、乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法。那么，完成这件事共有：种不同的方法。二、应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方

2、法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．（4）加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．（5）乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我

3、们可以简记为：“乘法分步，步步相关”8小升初分班考讲义例题1、如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？例题2、有一个三层书架，第一层放了15本书，第二层放了10本漫画书，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同，请问：（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各取一本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？例题2、运动会中有4个跑步的比赛项目，分别为

4、50米、100米、200米、400米，规定每个参赛只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：（1）如果每名同学都可以任意报这4个项目，一共有多少种报名方法？（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？例题4、用数字0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的自然数？8小升初分班考讲义例题5、用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？例题6、如右图，有A、B、C、D、E五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多

5、少种不同的染色方式？1、王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？（2级）2、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？8小升初分班考讲义3、四张卡片上写有2、4、7、8，从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数，请问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位奇数？4、由

6、数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？5、地图上有A，B，C，D四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？ADCB6、用4种不同的颜色给下图涂色，使相邻的长方形颜色不同，有多少种不同的涂色方法？8小升初分班考讲义专题五（2）容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，中公教育专家研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把

7、计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次。二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。8小升初分班考讲义例题1、在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每

8、个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室共有多少人？例题2、某餐厅有27道招牌菜，小明吃过其中的13道，小红吃过其中的7道，而且有2道菜是两个人都吃过的，请问：有多少道菜招牌菜是两人都没有吃过的？例题3、五年级二班有40名同学，其中有25人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么只参加了这两个小组之一的学生共有多