由一道习题引发的思考

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1、由一道习题引发的思考—探索二元一次方程组解的情况内容摘要：对一道二元一次方程组解的情况习题，是简单地呈现最后的结果？还是给学生讲解理由？我选择了后者，首先引入一种新的解二元一次方程组的方法，在求解的过程中产生矛盾，撞击学生思维的火花；围绕矛盾设置由浅入深的问题，直至得出最后结论，并用所归纳的结论解决问题。学生经过探索、独立思考、合作讨论、总结归纳等数学活动和思维过程认知能力得到提高。同时也使自己的教学水平提高，达到教学相长的效果。关键词：系数行列式；解的情况；唯一解；无穷多解；无解一、情景描述苏科版七年级教材下册10.3解二元一次方程组，运用代入、加减消元法求解二元一次方程组，例题

2、和习题中的方程组都是有解的，教材没有对二元一次方程组解的情况讨论。在辅导课上，徐渺，吕园等几位同学问我一个问题，题目内容是“当m，n取什么值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？”他们说看不懂题目，不知道题目是什么意思。如何解答这个问题？是直接告诉结论把答案呈现给他们，还是给他们讲解理由？若讲解如何才能让他们理解透彻？二、反思与分析为了解决上述问题，进一步提高学生的认知能力，根据七年级学生的心理特征和认知特点，我给他们提供了当二元一次方程组有解时的另一种解法。首先我们引入一种运算定义：二阶行列式，例如下面我们用一种新方法来解二元一次方程组[例]（教材苏科版七下P91）解二元一次方程

3、组分析：方程①右边为常数为4，方程②右边为常数为-5；我们把方程①、②中未知数x、y的系数按照原来的位置，构成二阶系数行列式；5/6把系数行列式中x的系数所在列换成方程①、②中常数，可得行列式；把系数行列式中y的系数所在列换成方程①、②中常数，可得行列式，根据行列式计算方法，可得；；。解：方程组的二阶系数行列式做相应的常数替换；方程组的解可以表示为：所以方程组的解为此种解法所得答案和课本结果一样，注意未知数求解的表示中，分母都为二阶系数行列式，求x时只需把二阶系数行列式中的未知数x的系数换为对应方程的常数后作为分子，求y时只需把二阶系数行列式中的未知数y的系数换为对应方程的常数后作

4、为分子，可以求解方程组的解。（学生感到惊奇，非常想用新方法一试身手。）通过新解法的呈现，激发了学生的求知欲望。请你仿照上述解法解方程组（教材苏科版七下P90例2）几位学生按照新解法很快求解出方程组的解。并和课本例题答案对照，结果一样。（学生快乐地学习，感觉到成功的喜悦）“很好，你们真棒﹗”我适时给学生鼓励和表扬，接着我又提出问题：“由上面解二元一次方程组解的表达式，若二元一次方程组有解，解是由什么决定的？你对二元一次方程组5/6的解有何新的认识？”（几位学生讨论后认为若二元一次方程组有解，解是由二元一次方程组本身的系数和常数唯一决定的。）很好，请你用上述方法解二元一次方程组学生用新

5、方法解题（学生说：“咦，分母怎么为0了，未知数x值算不出来啊。”学生产生困惑）解题产生了矛盾，撞击学生思维的火花，进一步激发了学生的求知欲和探索欲望。这时我适时引导学生说：“刚才我们解题的时候，虽然我们没有判断系数行列式的值是否为0；实际上它们系数行列式分别为；，都不为0，所以我们可以把解唯一地表示出来，而的系数行列式，此时方程组可能无解，也可能有无穷多个解。”接着我继续提问由上面两个方程组：1、你认为二元一次方程组满足什么条件时有唯一解？学生讨论后回答：“二元一次方程组二阶系数行列式不为0时，方程组唯一解。”2、系数行列式为0时，方程组可能无解，也可能有无穷多个解，那么什么时候无

6、解？什么时候有无穷多个解？请你继续考察方程组我们把①式两边同乘以2，得方程，这与②式相矛盾，5/6此时方程组无解。计算后知道系数行列式，用两方程的常数替换未知数x（或y）后得到行列式，计算的值是否为0？你有何结论？学生计算讨论后回答：，若，且常数替换未知数x后得到行列式，方程组无解。3、请继续考察方程组我们首先计算系数行列式,我们把①式两边同乘以3，得方程，这与②式完全相同，两个二元一次方程实际上是同一个二元一次方程了，由于一个二元一次方程有无穷多解,所以此时方程组有无穷多解。首先我们通过计算后知道系数行列式，用两方程的常数替换未知数x（或y）的系数后得到行列式，计算的值是否为0？

7、你有何结论？学生计算讨论后回答：，若，且常数替换未知数x的系数后得到行列式，方程组有无穷多解。4、由上面的探索，你能否归纳并叙述出对于一般的二元一次方程组的各系数及常数，满足什么条件时5/6(1)二元一次方程组有唯一解；(2)二元一次方程组有无穷多解；(3)二元一次方程组无解；（这对学生是一个挑战，学生的思维得到进一步的升华和提高，培养学生归纳总结的能力）我留给每位学生充足的思考探索时间，培养他们独立思考的能力；然后互相交流讨论，达成共识，培养合作学习的意识。这样即便