高中不等式例题(超全超经典)

《高中不等式例题(超全超经典)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式1.（1）若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）2.(1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）

2、4.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．≤≤≤应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋解题技巧：技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求的最大值。技巧三

3、：分离例3.求的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。7当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值

4、，因此考虑利用均值定理求最小值，解：都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．变式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知，且，求的最小值。应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知为两两不相等的实数，求证：1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、c，且。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又7，可由此变形入手。解：a、

5、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。解：令，。，应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是.分析：∵∴（∴R>Q四．不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）

6、根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式。（答：或）；（2）不等式的解集是____（答：或）；（3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______（答：）；（4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是______.（答：）4．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

7、7（1）解不等式（答：）；（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________（答：）.5.指数和对数不等式。6．绝对值不等式的解法：（1）含绝对值的不等式

8、x

9、＜a与

10、x

11、＞a的解集（2）

12、ax+b

13、≤c(c＞0)和

14、ax+b

15、≥c(c＞0)型不等式的解法①

16、ax+b

17、≤c-c≤ax+b≤c;②

18、ax+b

19、≥cax+b≥c或ax+b≤-c.（3）

20、x-a

21、+

22、x-b

23、≥c(c＞0)和

24、x-a

25、+

26、x-b

27、≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用

28、“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例1：解下列不等式：【解析】：（1）解法一（公式法）原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x　　解得x>3或x<0或0