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1、线性代数复习题第一章矩阵一、填空题1.矩阵与的乘积有意义，则必须满足的条件是。2.设又，问。3.设与都是级方阵，计算,,。4.设矩阵,试将表示为对称矩阵与反对称矩阵的和。（注意：任意阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设,,,计算。（特别地，若为字母向量时也应该会表达）6.设矩阵与都有意义，问与的关系为；又若与为同级方阵，问与的关系为。7.设是一个列向量，是一个数，分析与的意义，两者是否相等？答：。8.设向量，则，。9.设矩阵，则。10.设矩阵，则。11.设准对角矩阵,是多项式，则。12.
2、设矩阵，则。13.设是矩阵的伴随矩阵，则14.设是阶方阵的伴随矩阵,,则。15.矩阵的秩为__________，的伴随矩阵=。16.设是3阶可逆方阵，是矩阵且，则。1017.设，是矩阵且，则。18.试写出阶方阵可逆的几个充分必要条件（越多越好）。19.设矩阵，试写出行列式中-元的代数余子式，中第三行元素的代数余子式之和=。20.设是矩阵且，则的等价标准形为。21.设，则的等价标准形为。22.设，，则。23.设，则的等价标准形为。24.设，则。25.。26.已知矩阵满足，则。27.设阶矩阵可逆，则。2
3、8.试写出矩阵秩的定义。29.试写出阶行列式按第一列展开的定义。30.已知行列式中第三列元素依次为-1,2,0,1，其代数余子式分别为5,-3,-7,-4，则=___。31.已知为同阶方阵,且可逆,若,则(是整数)。32.设均为阶方阵，且，则。33.设均为阶方阵，且，则。34.若，都是阶方阵，，，则。35.设,则______。36.设是阶方阵，，则。37.设是阶可逆方阵，则。38.设是阶方阵，，则.39.试写出两个分块矩阵乘法有意义的条件。1040.设分块矩阵，则。41.已知行列式中第三列元素依次为
4、-1,2,0,1，其余子式分别为5,-3,-7,-4，则=___。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.设矩阵满足，则或。2.矩阵乘法适合交换律。3.设是级方阵，则。4.设是同级非零方阵，若，则。5.设是方程组的解，则是的解，是的解。6.设是线性方程组的解，则是的解。7.设是线性方程组的解，则是的解，是任意常数。8.矩阵可逆，且其逆为其本身。类似有，同样问题。9.设非零矩阵满足，则。10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零）11.若方阵可逆，则其伴
5、随矩阵也可逆。12.阶方阵满足，则可逆。13.若，则必有。14.设是阶方阵，且，则。15.设，则或。16.设,都是阶方阵,若,都可逆,则可逆。17.若矩阵的秩为，则中必有某一个阶子式不等于零。18.若阶方阵的秩，则其伴随阵。19.设是阶矩阵，则。20.设矩阵满足，且可逆，则。三、解答题1.求，，，。102.已知矩阵，，计算,。3.设3阶方阵的伴随矩阵为，且，求。4.求。5.已知，求。6.设，求。7.设。试用矩阵分块方法求。8.用两种方法求下列矩阵的逆.9.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘
6、积10.写出下列矩阵的等价标准形，（对讨论）11.设矩阵的秩为2，求，。12.求解线性方程组（1）；（2）。1013.设，求。14.设，，求。15.设是阶方阵,且,求,其中是的伴随矩阵。16.教材中的例题和不带*的习题。第二章线性方程组一、填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件。2.设是阶方阵，且秩，则齐次线性方程组的基础解系中含个解向量。3.方程组的基础解系中含个解向量。4.设是元齐次线性方程组的基础解系，则秩()=。5.矩阵的秩为，则的基础解系一定由________个线性无关的解向量构
7、成。6.若方程组有非零解，则。7.设是阶方阵,若线性方程组有非零解,则必有。8.设是阶方阵,,则线性方程组的基础解系所含向量的个数是。9.,,线性相关,则的值为__________。10.若向量与线性相关，则的取值为。11.设向量组，，,则向量组的秩是。12.设向量组I：的秩为，向量组II：秩为，且向量组I能由向量组II线性表出，则与的大小关系是_________________。13.设向量组I:线性无关，而都能由I线性表出，则秩()=。14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各
8、个最大线性无关组所含向量的个数必定。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.元线性方程组当时有无穷多解。102.设是阶方阵,若方程组满足,则有唯一解。3.对于线性方程组(这里为n阶方阵)，如果该方程组有解，则必有。4.维向量组与维向量组秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。5.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。6.如果向量组线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。7.包含零向量的向量组是线性相关的。8.维向量组必线性相关。9.若两个
