数形结合巧解题

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1、数形结合巧解题　　摘要：数形结合是数学解题中常用的思想方法，在数学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，达到化难为易，化繁为简，化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决.本文从培养数学数形结合思想的重要性入手，结合几个具体实例，从借助数轴、借助图像、借助单位圆、借助复平面和借助几何构建这五个方面谈谈如何运用数形结合的思想方法解决数学问题.　　关键词：数形结合思维能力解题应用中学数学教学　　数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学.数是形的抽象概括，形是数的直观表现，华罗庚教授说：“数缺形时少直观

2、，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述，代数的论证研究和解决数学问题的一种数学思想方法.　　一、培养“数形结合”思维能力的重要意义　　数形结合是中学数学解题中常用的、重要的一种思想方法.数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.数形结合的思想包括“以形助数”和“以数辅形”7两个方面.它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题过程的目的，由于使

3、用了数形结合方法，很多问题便迎刃而解.　　纵观多年来的中、高考考题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可收到事半功倍的效果.不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程，这在解选择题、填空题中优势更明显.因此，在数学教学中，应培养运用“数形结合”的思想引导学生思考，运用“数形结合”的技巧训练学生解题，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.注重数形结合思想的教学，不仅能够提高学生学习数学的兴趣，而且能够提高学生数形转化能力和

4、迁移思维能力，具有重大的意义.　　二、“数形结合”思想方法的解题应用　　（一）借助数轴，直观深刻.　　实数与数轴上的点是一一对应的，从数形结合的观点出发，借助用数轴的思想使抽象的数及其运算方法，让人们易于理解和接受.这样充分运用数形结合思想，能使繁、难的问题变得简单、明了.　　例如用数轴上的点表示实数就是数形结合思想的基石，这样把数（实数）与形（数轴上的点），建立起了一种转化对应关系，用点表示数，形象直观用数描述形，科学准确，二者相辅相成.　　例1.已知a>0，b

5、b

6、，试比较a，-a，b，-b的大小.7　　【解析】本题中a，b的具体数值没有确定，但能依

7、据数轴形象地表示它们在数轴上的大致位置.如图1，a>0，表示数a的点在原点右侧，b

8、b

9、表示数a的点离原点的距离比表示数b的点离原点的距离大，从而确定数a数b在数轴上的大致位置.又由表示互为相反数的点分居在原点两侧，且离原点的距离相等的性质找到数轴上表示-a，-b的点.观察图1，根据数轴上的点表示的数，右边总比左边的大，知-a

10、x

11、≤5}，则A∪B中的元素个数是（）　　A.11B.10C.15D.16　　【解析】这是求并集中的元素个数，A、B中的元素在数轴上易于

12、表示，从数形结合的思想方法来解简单明了，如图2所示，A∪B中含有整数点16个，因此答案为D.　　图2　　（二）借助图像，直观易懂.　　一般地，不等式的解集，函数的性质等进行讨论时，可以借助函数图像直观解决，简单明了.　　例3.一次函数y=ax+b的图像交x轴于点（1，0），一次函数y=ax+b的图像交x轴于点（7，0），且两图像交于点P（5，3），根据图形3，指出当x为何值时，y>y？　　【解析】这道题体现了图像的直观性，函数图像就是直观的数学语言，用数形结合的思维方法，可以看到y的值，当x>5时，y的值递减；当x>5时，y的值递增.所以当x>5时y>y

13、.　　图3　　例4.设对于任意实数x∈[-2，2]，函数f（x）=lg（3a-ax-x）总有意义，求实数a的取值范围.7　　【解析】函数f（x）有意义，则3a-ax-x>0，即x+ax-3a<0在x∈[-2，2]上总成立.　　设g（x）=x+ax-3a，即当x∈[-2，2]时，g（x）<0总成立.　　∴依抛物线y=g（x）的特征，将其定位，　　有g（2）4.　　图4　　因此，借助函数图像的直观性可使很难或很繁的问题变得容易和简单.　　（三）借助单位圆，直观又简捷.　　例5.如图，极坐标方程ρ=2sin（θ+π/4）的图形是（）　　ABCD　　【解析】题目

14、是由“数”的解析关系找“形”的位置，数形结合，由特殊的“数”否一般的“形”，当θ