利用放缩法证到明数列型不等式压轴题

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1、----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方利用放缩法证明数列型不等式压轴题纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列

2、型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。例1设数列的前项的和，。设，，证明：。证明：易得，=点评：此题的关键是将裂项成，然后再求和，即可达到目标。（2）先放缩通项，然后将其裂成项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。例2已知数列和满足，，数列的前和为，；（I）求证：；（II）求证：当时，。证明：（I）-----

3、-----专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方∴．（II）由（I）可知递增，从而，又，即当时，。点评：此题（II）充分利用（I）的结论，递增，将裂成的和，从而找到了解题的突破口。2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3已知数列的首项为点在直线上。若证明对任意的，不等式恒成立．证明：，所以即。点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容

4、易处理。可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，，而通项式为的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。例4已知数列满足，，证明：。----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方证明：当时，，结论成立。当时，易知点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。4、等比公式放缩法：先放缩构造

5、成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。例5已知数列的各项均为正数，且满足记，数列的前项和为，且．（I）数列和的通项公式；（II）求证：．略解：（I），，。证明：（II）．∴．反思：右边是，感觉是个的和，而中间刚好是项，所以利用；左边是不能用同样的方式来实现，想到，试着考虑将缩小成----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方是等比数列），从而找到了此题的突破口。5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不

6、等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。例6已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求出通项；（Ⅱ）如果时，设数列的前项和为，试求出，并证明当时，有．21略解：（），则．，当时，，则．，则．因此，．反思：为什么会想到将放缩成？联想到，因为要证明，而是一个数列前项的和，最后通过放缩很可能变成的形式，而应是由放缩后裂项而成，，，此时刚好得到，接下来就要处理，想到用二项式定理。----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方-----

7、-----专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。例7设数列的前项和为，且对任意的，都有.(I)求的值；（II）求数列的通项公式；（III）证明：。略解：（I）（II），；证明（III），令，则有，从而，即。点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形