利用放缩法证明数列型不等式压轴题

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时间:2019-02-28

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1、利用放缩法证明数列型不等式压轴题纵观近几年高考数学卷,压轴题很多是数列型不等式,其中通常需要证明数列型不等式,它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法,而且还可以综合考查其它多种数学思想方法,充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握。对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔.本文以数列型不等式压轴题的证明为例,探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。一、常用的放缩法

2、在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种类型:(1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。例1设数列的前项的和,。设,,证明:。证明:易得,=点评:此题的关键是将裂项成,然后再求和,即可达到目标。(2)先放缩通项,然后将其裂成项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。例2已知数列和满足,,数列的前和为,;(I)求证:;(II)求证:当时,。证明:(I)∴.(II)8由(I)可知递增,从而,又,即当时,。点评:此题(II)充分利用(I)的结论,递增,将裂成的和,从而找到了解题的突

3、破口。2、迭乘放缩法:放缩法与迭乘法的结合,用放缩法构造迭乘形式,相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3已知数列的首项为点在直线上。若证明对任意的,不等式恒成立.证明:,所以即。点评:此题是证明积式大于根式,由于左边没有根式,右边是三次根式,立方后比较更容易处理。可以看成是三个假分式的乘积,保持其中一项不变,另两项假分数分子分母同时加1,加2,则积变小,,而通项式为的数列在迭乘时刚好相消,从而达到目标。3、迭代放缩法:通过放缩法构造递推不等关系,进行迭代,从而求解。例4已知数列满足,,证明:。证明:当时,,结论成立。当时,易知点评:此题将目标式进行放缩得到递推不等关系,进行迭代,找到解题途

4、径。84、等比公式放缩法:先放缩构造成等比数列,再求和,最后二次放缩实现目标转化。例5已知数列的各项均为正数,且满足记,数列的前项和为,且.(I)数列和的通项公式;(II)求证:.略解:(I),,。证明:(II).∴.反思:右边是,感觉是个的和,而中间刚好是项,所以利用;左边是不能用同样的方式来实现,想到,试着考虑将缩小成是等比数列),从而找到了此题的突破口。5、二项式定理放缩法:在证明与指数有关的数列型不等式时,用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常见类型:(1)部分二项式定理放缩法:即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。例6已知数列满足,().(Ⅰ)证明数列是等比数列,并求出

5、通项;(Ⅱ)如果时,设数列的前项和为,试求出,并证明当时,有8.21略解:(),则.,当时,,则.,则.因此,.反思:为什么会想到将放缩成?联想到,因为要证明,而是一个数列前项的和,最后通过放缩很可能变成的形式,而应是由放缩后裂项而成,,,此时刚好得到,接下来就要处理,想到用二项式定理。(2)完全二项式定理放缩法:整个式子的证明主要借助于二项式定理。例7设数列的前项和为,且对任意的,都有.(I)求的值;(II)求数列的通项公式;(III)证明:。略解:(I)(II),;证明(III),令,则有,从而,即。8点评:利用二项式定理结合放缩法证明不等式时,一定要紧密结合二项式展开式的特点,联系需证

6、不等式的结构,通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。6、比较放缩法:比较法与放缩法的结合,先进行比较(作差或作商),再进行放缩。例8在单调递增数列中,,,且成等差数列,成等比数列,.(I)分别计算,和,的值;(II)求数列的通项公式(将用表示);(III)设数列的前项和为,证明:,.略解:(I)(II)得,,,.证明:(III)由(II),得.显然,;当为偶数时,;当为奇数()时,.综上所述,,即,.点评:此题在作差比较中实施裂项放缩,进而得到最后结果小于0,从而得证。7、单调函数放缩法:根据题目特征,构造特殊的单调函数,再进行放缩求解。例9设函数,其中.证明对任意的正整数,不等式都成立

7、.8分析:欲证上述结论,直接作差比较,无从下手;接着想到令,判断函数的单调性,由于定义域为正整数,不能用导数,只能计算,其结果还是很难处理;联想到数列是一种特殊的函数,将命题加强,令,判断函数的单调性,如果在单调,则函数也单调。解:令函数,则.当时,,所以函数在上单调递增,时,恒有,即恒成立.故当时,有.对任意正整数取,则有.二、放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向:即是放大还是缩小,看证明的结论,

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