蒙特卡罗方法在解微分方程边值问题中的应用.pdf

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1、万方数据第24卷第12期2012年12月强激光与粒子束HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMSV01．24，No．12Dec．，2012文章编号：1001—4322(2012)12-3023—05蒙特卡罗方法在解微分方程边值问题中的应用+左应红1’2，王建国1’3(1．西北核技术研究所，西安710024；2．清华大学工程物理系，北京100084；3．西安交通大学电子与信息工程学院，西安710049)摘要：介绍了蒙特卡罗方法的基本原理以及随机数的产生方法。基于蒙特卡罗方法的思想，结合有限差

2、分方法，建立了求解微分方程边值问题的随机概率模型，并以第一类边界条件的拉普拉斯方程和一个给定初值及边界条件的非稳态热传导方程为数值算例，研究了蒙特卡罗方法在求解微分方程边值问题中的应用。结果表明：利用蒙特卡罗方法，不仅可以有效解决给定边界条件的微分方程，对于给定初值条件的微分方程，也可以从时域有限差分方程出发，采用蒙特卡罗方法进行求解。数值模拟和对误差的理论分析均表明，增加蒙特卡罗试验中的模拟粒子点数，可以提高计算结果的精度。关键词：蒙特卡罗方法；微分方程；边值问题；随机概率模型；热传导方程中图分类号：02

3、42文献标志码：Adoi：10．3788／HPLPB20122412．3023随着近年来计算机技术的高速发展，蒙特卡罗方法在科学研究中越来越发挥着重要作用，并且广泛用于计算物理学、原子能科学、核物理学等领域口。5]。它不仅可用于求解随机性问题，还可求解非线性方程、多重积分、微分方程等确定性问题[6]。微分方程在实际工程领域中有着非常广泛的应用，比如在信息处理、电磁学物理、热力学物理等领域中就经常会遇到偏微分方程的求解问题口。1⋯。与有限元、有限差分方法等常用的数值计算方法相比，基于模拟试验的蒙特卡罗方法具有

4、目身的一些优点，如可以单独计算求解域内任意一点，而无需在求解域上其他点被解出的基础上进行计算，因而便于设计开发并行计算程序，这使得研究蒙特卡罗方法在偏微分方程边值问题中的应用有一定的理论和实用价值。本文基于蒙特卡罗方法的基本思想，结合有限差分方法，建立了求解微分方程边值问题的随机概率模型，并通过两个实例研究了蒙特卡罗方法在微分方程边值问题中的应用。1基本原理及方法1．1基本思想蒙特卡罗方法可用于求解确定性问题或随机性问题。在解确定性问题时，先要根据待求解问题建立一个概率统计模型，当所要求的解是某个事件出现的

5、概率或是某随机变量的期望时，可通过数值模拟方法得到该事件发生的概率，或通过随机变量试验值的平均值作为问题的近似解∞。4]。采用蒙特卡罗方法模拟某种随机过程时，需经过3个主要步骤：一是构造待解问题的概率模型，二是从已知概率分布中抽样产生随机变量，三是抽样后对蒙特卡罗数值模拟试验进行考察以便得出有用的估计量‘3

6、。产生随机数是蒙特卡罗方法中一个重要环节，近年来，随着蒙特卡罗方法的广泛应用，产生随机数的方法也在不断发展和更新，但最基本的是在[o，1]上均匀分布的随机数。在计算机上通过各种算术运算产生随机序列的方法

7、是目前广泛使用的方法，其中被采用最多的是以线性递推方法为基础的，一类是线性同余法，另一类是伪随机噪声序列法。1．2解微分方程的随机概率模型求解给定边界条件的微分方程，属于确定性问题的范畴，因此在利用蒙特卡罗方法求解时，先要构造解微分方程的随机概率模型。对于一定区域上的微分方程边值问题，如二维空间上的矩形区域、圆域或圆环区域，可通过分离变量法求解。如果所考虑区域的几何形状很复杂，求方程的显式解析式是比较困难的。这时，可考虑通过有限差分法或有限元等数值方法来求解，但其运算量较大且求解过程复杂。本文以拉普拉斯方程

8、为例，从有限差分方法人手，结合蒙特卡罗方法的基本思想，建立一种求解微分方程边值问题的随机概率模型。设*收稿日期：2012-07—02；修订日期：2012—0720。作者简介：左应红(1987一)，男，博士研究生，从事等离子数值模拟技术研究；zuoyinghong@tsinghua．org．cn。万方数据3024强激光与粒子束第24卷求解域D中的问题为』鬻+毫+褰一㈩_az{az；。az；。(1)l“lr—g(jrl)式中：“为待求解的实函数，可代表电位或温度等物理量；z。，z：，z。为3个实自变量；r为求解

9、域D的边界；g(r)为边界值。将求解域以均匀网格划分，网格标号为(i，5，忌)，网格步长为艿，内部网格点记为S，边界网格点记为n，b表示边界网格点的编号，则式(1)的有限差分方程为堕皿二姿笋±塑业+堕业二警乒±鳖+堕盟二毪笋±堕盟一0(2)艿2d2艿2⋯由式(2)可知，区域内任意一点S的值近似为其邻近6点“的平均值，对于其他内点可建立同样的近似方程，再通过消元法找到内点S与所有边界点r。的关系，从而得到坐标为(z