群论 第2章 群的线性表示理论.pdf

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1、第二章群的线性表示理论和置换群一样，矩阵群也有资格作为样板群，且适用范围更广。群论在物理中的应用一般都是线性表示的形式；我们对矩阵和数更熟悉。F.G.Fronenius,W.Burnside开创一、群的线性表示（linearrepresentation）1．定义线性表示即群G到GL(n,C)的同态：群G的每个元素与一个n阶非奇异复矩阵T(g)对应，且保持群的乘法结构，gG,T(gh)T(g)T(h)，象f(G)称为群G的一个n阶（线性）表示。单位表示所有元素均映射为1酉(unitary)表示（幺正表示）ΤΤ1,TT1实表

2、示表示矩阵是实矩阵（广义定义是和实数矩阵等价的表示）忠实（fidelity）表示群表示和原来的群同构定理T(e)1,?(?−1)=?−1(?)y2．例A2作D群的线性表示。33写出3维空间的旋转矩阵即可。Oxe：不动，T(e)diag1,1,1。a：绕1轴转1800，T(a)diag-1,1,-1。BCb：绕2轴转1800。可以利用转动群的生成元按公式expiJ来写（参考转动群一章）。这里我们把b看成是1zz，且坐标x、y在平面内对2轴作镜像。二维平面上的直线方程为nrc，或n(rc

3、n)0其中n是原点到直线的垂线方向，c是原点到直线的距离。容易得到，任意一点r对直线的镜像为r2cn2(rn)n。0001对于直线2，c0，直线与x轴夹角为300，n与x轴夹角为1200，n(1/2,3/2)，13xyxx131/2222(xy)，yy223/231xy221/23/20T(b)3/21/20。001c：绕3轴转1800，n与x轴夹角为600，n(1/2,3/2)，

4、1/23/20T(c)3/21/20。001d：绕z轴逆时针转1200。二维空间逆时针转的转动矩阵为cossin，sincos1/23/20T(d)3/21/20。001f：绕z轴逆时针转2400，1/23/20T(f)3/21/20。0013．性质（1）复共轭表示：群G的线性表示{?(?)

5、?∈?}的复共轭{?∗(?)

6、?∈?}，也是群G的线性表示。☆~1（2）对偶(dual)表示：T(g)T(g)（3

7、）酉表示的对偶表示即复共轭表示（4）直积表示：群表示的直积是直积群的表示。（5）商群的表示可以提升为群的表示。4．表示空间群作用空间（actionspace）群表示变换的对象，又称为表示空间。例如转动群作用空间是三维空间矢量，在函数空间的表示的作用对象是三元函数。2群的不变子空间作用空间中V，在群变换下封闭的子空间W。invariantsubspace∀?∈?,?(?)?⊆?平庸不变子空间（trivialinvariantsubspace）：零空间和V推论：对有限维表示，T(G)W⊆W⇔T(G)W=W例如在四维时空中，转动群的不变子空

8、间是三维空间。群表示论的核心问题是怎样找出一个群所有的线性表示。5．等价表示等价表示只相差一个相似变换：设G是群，T(G)和T'(G)都是群G的线性表示，如1果存在一个矩阵S，使得gG,ST(g)ST'(g)，则称这两个表示是等价的注：规范矩阵（AAAA）都可以对角化，但是一般来说，对不同的群元素，变换矩阵不会相同，SS(g)。所以不会出现所有的酉表示均等价于对角矩阵表示这种情形。群的线性表示之间的等价是一个等价关系。集合{群G的所有线性表示}可按这一等价关系分拆为等价表示类，只要找到一个代表就可以了。可以选择这个代表

9、为酉表示：定理有限群的每个等价表示类中都存在一个酉表示。证明设T(G)是群G的一个表示，我们把与之等价的幺正表示找出来。相似变换矩阵S必然取决于T(g)

10、gG，即由T(g)来构造；但是又必须与g无关，2是一个常数矩阵，可以尝试令ST(g)T(g)。gG由重排定理，22T(h)ST(h)T(gh)T(gh)S，gG2从而有，如果矩阵S能够开方，并且开方后所得矩阵S是非奇异的厄米矩阵，SS，1detS0，则可以取U(h)ST(h)S，U(G)是群G的幺正表示，11121U(h)U(h)

11、ST(h)SST(h)SSSS1。2下面对S开方：2因为S是厄米矩阵，可以对角化，221SQDQ，222其中D是对角矩阵，对角元都是实数，是S的本征值；Q是酉矩阵，每列都是S的归一化本征矢。取等价表示31T(