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1、物理学中的群论主讲翦知渐——群的表示理论群论-群的表示理论§3.2群的线性表示§3.3舒尔引理和正交性定理§3.4表示的构造§3.5群表示的特征标§3.6投影算符第三章群的表示理论抽象群→线性变换§3.7正则表示§3.8特征标表的计算§3.9直积表示§3.1线性算符及其矩阵表示群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示§3.1线性算符及其矩阵表示线性代数的准备知识群的表示理论是群论处理物理问题的基本数学方法表示理论：用线性变换表示抽象代数线性空间：V是一个非空集合，F是一个数域V上定义了加法，z=x+y，V对加法成Abel群；F与V的元素之间定义了数乘，y=
2、kx，且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x；加法与数乘满足分配律；那么V称为数域F上的线性空间F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。1线性空间与线性变换基矢线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一组基矢一般取e1,e2,…,en为空间Vn上的一组正交归一基矢内积，内积空间线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1,e2,…,en}为基矢组时，也可展开为x=x1e1+x2e2+…+xnenx1,x2,…,xn即为矢量x在基矢e1,e2,…,en上的坐标x可以用它的
3、坐标来表示：x=(x1,x2,…,xn)常把(x1,x2,…,xn)写成单列矩阵，称之为矢量x的列向量表示群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示线性空间Vn上任意一个矢量x→Vn′上有唯一的矢量y对应规则Â称为Vn到Vn'的一个算符：y=Âx如果以上对应规则是一对一的，则存在逆算符Â-1：x=Â-1y如果空间Vn'就是空间Vn时，Â称为空间Vn上的一个算符。如果Â(x+y)=Âx+ÂyÂ(αx)=αÂx则Â称为线性算符。线性算符群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示算符的矩阵形式用矩阵形式表示算符，则需引进坐标系令e1,e2,…,en为空间Vn上的一组
4、正交归一基矢Â对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合：利用基矢的正交归一条件(ei,ej)=δij（也可写为5、ej>=δij），可得：Aij=6、Â
7、ej>≡(ei,Âej)，i,j=1,2,…,nn×n阶的矩阵A——算符Â在基{e1,e2,…,en}中的矩阵表示。群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示2矩阵表示对空间的不同的基矢组，算符Â有不同的矩阵表示。选定一组基矢，一个线性变换可以表示为一个矩阵；反过来，对于一组给定的基矢{e1,e2,…,en}，一个矩阵A实际上也就是一个线性算符Â算符Â作用在任一矢量上的结果由确定。当然，对应于
8、不同的基矢组，矩阵所确定的算符也是不同的群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示转移矩阵：设{e1,e2,…,en}和{f1,f2,…,fn}是线性空间Vn上的两组不同的正交归一化基矢组，若将fj写为，j=1,2,…,n则S称为从基{e1,e2,…,en}到基{f1,f2,…,fn}的转移矩阵相应地算符Ŝ称为转移算符基矢变换设：则：A'=S-1AS，群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示厄密共轭算符：对于空间Vn上任一算符Â，如果有另一个算符†满足以下关系：(ei,†ej)=(Âei,ej)则算符†称为算符Â的厄密共轭算符如果{e1,e2,…,en
9、}是正交归一化基矢组，则：(ei,†ej)=ΣkA†kj(ei,ek)=ΣkA*jk(ei,ek)=A*ji=Ã*ij=(A†)ij——在正交归一化基中，算符Â的矩阵为A，而它的厄密共轭算符†的表示矩阵为A的厄米共轭矩阵A†若†=Â，则Â称为厄密算符，或自共轭算符厄密算符的表示矩阵为厄密矩阵：A†=A群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示3几种算符幺正算符：若空间Vn上的一个算符Â，它对该空间任意两个矢量x和y作用后，其内积不变，即：(Âx,Ây)=(x,y)则Â称为幺正算符，也称为酉算符。因为：(Âx,Ây)=(x,†Ây)=(x,y)所以幺正
10、算符满足†Â=†=1，†=Â-1若空间引入正交归一基，则其表示矩阵为A†=A-1即幺正算符的表示矩阵为幺正矩阵只有取正交归一基时，幺正（厄密）算符的表示矩阵才是幺正（厄密）矩阵群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示群论-群的表示理论-群的线性表示§3.2群的线性表示群表示的定义和基本性质群G的线性表示就是一组与群G同态的线性变换，这一组线性变换当然也构成一个群——通过研究与G结构相似的线性变换群来研究抽象群线性变换（通常也称为算符）是定义在线性空间中的，这个线性空间就称为表示空间。对于给定的n维线性空间，如果选定一组基矢，其中的任一线性变换就可以
11、表示为一个n阶方阵群的线性表示常用矩阵的形式来描述，称为矩阵表示。
