2012年高考定义型创新题归类解析

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1、2012年高考定义型创新题归类解析　　定义型创新题是指以已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情景，并给出一个新的定义，通过阅读相关信息进行解答的一类新题型.这类试题在高考数学中越来越流行，本文对2012年高考中定义型创新题加以归类解析，供同学们参考.　　一、函数中的新定义题　　例1（福建卷）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，b2-ab，a>b.设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是.　　分析本题是已知新定义的

2、一个分段函数，再考查函数与方程中根的个数.　　解由题可得f（x）=x（2x-1），x≤0，-x（x-1），x>0.作出f（x）的图象如下：　　由图可知，当00，且x2+x3=2×=1，则x2x.　　由m∈（0，），x1<0，　　令（2x-1）x=，x<0，解得x=或x=（舍去）.　　又

3、称f（x）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：　　①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln

4、x

5、.　　则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）　　A.①②B.③④C.①③D.②④　　分析充分利用等比数列性质及函数的相关知识来解题.　　解由等比数列性质，知anan+2=a2n+1，则　　①f（an）f（an+2）=a2na2n+2=（a2n+1）2=f2（an+1）；　　②f（an）f（an+2）=2an2an+2=2an+an+2≠（2an+1）2=f2（an+1）；　

6、　③f（an）f（an+2）===f2（an+1）；　　④f（an）f（an+2）=ln

7、an

8、ln

9、an+2

10、≠（ln

11、an+1

12、）2=f2（an+1）.　　由保等比数列函数的定义知①③满足条件.　　故选C.　　评注本题也可利用特殊化思想，选an=2n来判定.　　三、向量中的新定义题　　例3（广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β，定义α？莓β=.若平面向量a，b满足

13、a

14、≥

15、b

16、>0，a与b的夹角θ∈（0，），且a？莓b，b？莓a都在集合■

17、n∈Z中，则a？莓b=（）5　　A.B.1C.D.　　分析这是向量中的新定义问题，可借助向量数

18、量积及整数的相关知识来解决.　　解设m，n∈Z，又θ∈（0，），由题意知　　a？莓b=cosθ=>0，　　b？莓a=cosθ=>0，　　所以cos2θ=，且m≥n>0.　　因为cos2θ∈（，1），所以<<1，得mn=3.　　又m，n∈Z，

19、a

20、≥

21、b

22、>0，则有m=3，n=1，于是a？莓b=.　　故选C.　　评注本题主要考查平面向量的数量积、整数性质以及三角函数的有界性.　　四、概率中的新定义题　　例4（江西卷）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）

23、这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）.　　（1）求V=0的概率；　　（2）求V的分布列及数学期望EV.　　分析本题新定义一个“立体”概念，来解决概率及数学期望问题.　　解（1）5从6个点中随机地选取3个点共有C36=20种选法，选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有C13C34=12种，因此V=0的概率P（V=0）=■=■.　　（2）V的所有可能值为0，，，，，因此V的分布列为　　由V的分布列可得：　　EV

24、=0×+×+×+×+×=.　　评注本题是立体几何与概率交汇的新定义题，除了理解“立体”概念，还要理解“立体”的体积.　　五、解析几何中的新定义题　　例5（浙江卷）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=.　　分析利用新定义的距离，转化为课本中学过的点到直线的距离，利用公式d=即可解决.　　解C2：x2+（y+4）2=2，圆心（0，-4），半径r=.　　则圆心到直线l：y=x的距离　　d==2，　　则曲

25、线C2到直线l：y=x的距离为d′=d-r=2-=.　　又曲线C1上的点（x0，y0）到直线l：y=x的距离也为d′，　　则过点（x0，y0）的切线平行于直线y=x.　　已知函数y=x2+a，