[工学]量子力学与统计物理

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1、量子力学与统计物理基础——第一章量子概述1第一章量子概述所谓“量子”英文的解释为：afixedamount(一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。1.1.运动的“不连续性”1．运动究竟是怎样的呢？你可能会不假思索地回答说，“运动显然是连续的！”的确，这是物体运动所给我们的最直接的感觉印象。我们所看到的、所感觉到的都是连续运动，它存在的合理性似乎是显然的，无需给出。一个物体在不受外力影响时，将保持它的运动速度，因为没有原因导致它改变运动速度，于是它要么静止，要么以不变的速度连续移动；又如，一个

2、自由运动的物体在某一时刻处于空间中的某个位置，在下一时刻它将只能位于原处或邻近的位置，因为没有原因导致它突然出现在某个不相邻的位置；同样，它也无法从一个位置运动到另一个位置而不经过中间的位置，因为没有原因导致这样的“跳跃”。2．什么是连续运动呢？你能给出一个较为严格的描述吗？例如，在一条直线上怎么说明物体从位置0连续运动到位置1呢？你也许会说，这很简单，不就是物体连续地通过它们之间的所有的点吗？但是，在0与1之间到底有多少个点呢？显然有无穷多个点，例如有1/2，1/4，1/8，……你用一生的时间也无法数完它们！于是，问题就来了，你如何能知道物体通过了0与1之间的无穷多个

3、点呢？如果不知道，你又怎么能说物体通过了0与1之间的所有点呢？如果不能说，你又怎么证明物体的运动是连续的呢？！3．如何验证连续？然而，这也许难不倒你。你会争辩说，尽管无法测量出物体通过了0与1之间的无穷多个点，但是可以通过一个似乎自明的假设来证明它通过了0与1之间的所有点，从而证明物体的运动是连续的。这个假设就是：物体由一点运动到另一点必先通过它们的中间点。但是，你如何验证这个假设呢？对于比较大的空间距离，它也许是对的，然而，对于越来越小的空间距离，你验证过它吗？尤其是还存在无穷多个长短不同的空间距离呢！如1/2，1/4，1/8，……你同样无法完成这无穷次测量验证，因此

4、你仍然无法证明物体的运动是连续的。4．数学的连续与物理的连续概念有何不同？数学的连续概念定义为抽象的，物理的连续概念是相对的，具有可比性。结论：看来，无穷挡住了我们的去路。我们必须进入越来越小，甚至是无穷小的时间和空间，才能最终发现物体真实的运动形式。1.2量子里程碑─能量量子化概念1．黑体模型：设想有一容器，它由能够阻挡电磁辐射的器壁组成，并假设器壁表面上有一无限小的孔。从这个孔射入的辐射，将不可能以可观测的几率找到再射出的途径，因此这个容器小孔就是黑体。2．黑体辐射：151电子科技大学——石玉量子力学与统计物理基础——第一章量子概述容器内部的辐射场，在给定的温度下，

5、与容器处于热平衡，这个辐射场就是黑体辐射。已经证明，辐射谱的分布和体密度只与温度有关，而与器壁的详细性质或任何其他因素无关。我们注意到，正是这种与细节无关的特点，使得黑体辐射成为这么重要的试验基础，可以用来了解处于热平衡下的物质与辐射间的能量交换。3．“紫外灾难”根据经典统计力学的均分定理，热平衡时，每一振动自由度具有相同的平均能量kT。现在，可以证明，频率在v到v+dv之间的模数为（8p/c3）·Vv2dv；这里的V是空腔的体积。因此，我们得到了不合理的结果：黑体辐射的能量密度等于(8p/c3)kTv2dv，这就是说，频率在v和v+dv之间的辐射密度随频率的平方无限制

6、地增加，因而空腔中的总电磁能量为无限大，产生“紫外灾难”。4．能量量子化概念普朗克首先揭示出某些自由度不参与能量分配的奥秘，当时他提出，频率为v的振动模式的能量只会取不连续的值，不会像经典理论所说的那样连续地变化。特别地，他假设能量会从零开始以正比于频率的等间距或阶跃增加，其中增加的比例常数正好是普朗克常数，所以，频率为v或角频率为w的量子能量为那么振子的能量的允许值只会是0，，，…。很容易看出，普朗克的观点至少在定性上讲是正确的。对于频率相当低的振动模式，能量间距比热能小得多，因此，经典的均分定理不受影响。另一方面，对于频率相当高的振动模式来说，能量间距比热能大得多，

7、因此，这些振动模式不能参与能量分配过程。明确地说，它表明在温度为T时，频率为v的振动自由度的平均能量为。由此可见，当时，它取经典值kT，而当时，它按指数关系减小。黑体辐射的频率在v和v+dv之间时，与它相对应的能量密度则为，这就是普朗克辐射定律，这个定律与实验非常一致，而且在历史上，它首先提供了十分精确地测定的方法。普朗克提出了能量量子化概念（即力学量存在不连续），十分成功地解决了黑体辐射的困难。5．从上我们已经的知道普朗克能量量化的概念，下面举例说明宏观能量被普朗克能量量化后，能量量子从宏观角度来看意味着什么？例：一个质量为0.01千克