北京市石景山区高三第一学期期末考试数学理科试题答案

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1、石景山区第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．题号12345678答案二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．题号91011121314答案；；注：第11、14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵,∴.又∵,解得．……………………3分∵，∴是锐角．∴．………………………6分（Ⅱ）∵，∴.解得

2、．…………………8分又∵　，　∴　．∴．∴．………………………12分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）．………………………2分高三数学（理科）参考答案第8页（共8页）由题意知，得．…………………5分∴．……………………6分（Ⅱ）．∵，∴．由解得或，由解得．……………10分∴的单调增区间为：和；的单调减区间为：．……12分17．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：∵面⊥面，，且面面，∴面．……………2分又∵面，∴．………………4分（Ⅱ）解：如图，过点作⊥于，连结．由（Ⅰ）知面．∴是斜线在平面内的射影，∴．（三垂线定理）∴是二面角的平面角．…………………6分设，由，得，．高三

3、数学（理科）参考答案第8页（共8页）∵是正三角形，∴．∴．∴．∴　二面角的大小为．…………………9分（Ⅲ）解：如图，取三边、、的中点、、，连结、、、、，则，；，．∴是异面直线与所成的角或其补角．………………11分∵是正三角形，且平面平面，∴面，是直角三角形，．又∵面，故．在中，，，．∴．∴异面直线和所成角为．……………14分解法二：（Ⅰ）分别取、的中点、，连结、．　　　∵　是正三角形，　　　∴　．　　　∵　面⊥面，且面面，　　　∴　平面．　　　∵　是的中位线，且平面，高三数学（理科）参考答案第8页（共8页）　　　∴　平面．　　　以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直

4、线为轴，建立空间直角坐标系．……………2分设，　则，，，，．　　　∴　，．……………………4分　　　∴　．　　　∴　，即．…………………6分（Ⅱ）∵　平面，　　　∴　平面的法向量为．……………………7分　　　设平面的法向量为，　　　∴　，．　　　∴　，即．　　　　　，即．　　　∴　令，则，．　　　∴　．……………………9分　高三数学（理科）参考答案第8页（共8页）∴　　　　．∵二面角是锐角，　　　∴　二面角的大小为．………………11分（Ⅲ）∵　，，∴　．∴　异面直线和所成角为．……………14分18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）恰好取球3次的概率；……………………3分（Ⅱ）由

5、题意知，的可能取值为、、、、，，，，，高三数学（理科）参考答案第8页（共8页）．所以，取球次数的分布列为：12345…………………10分（Ⅲ）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．记“甲取到白球”的事件为A．则．因为事件“”、“”、“”两两互斥，所以　　．所以恰好甲取到白球的概率为．……………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵　数列是等差数列，　　　　∴　．又，　　　　∴　，或．……………2分　　　　∵　公差，∴　，．　　　　∴　，．　　　　∴　．…………4分（Ⅱ）∵　，　　∴　．………………6分　　∵　数列是等差数列，高三数学（理科）参考答案第8

6、页（共8页）　　∴　．　　∴　．　　去分母，比较系数，得．……………9分　　∴　．………………10分（Ⅲ）　　　　≤．……………12分　　当且仅当，即时，取得最大值．……………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵（），∴．……………1分令，要使在为增函数，只需在上满足：恒成立，即．上恒成立．又∵，………4分∴．…………5分高三数学（理科）参考答案第8页（共8页）（Ⅱ）证明：要证，即证，设，．………………6分当时，，∴为单调递增函数；当时，，∴为单调递减函数；∴．…………………9分即，∴．…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，又，∴．∵,，可令，得．…………12分∴．∴．……

7、………14分注：若有其它解法，请酌情给分．高三数学（理科）参考答案第8页（共8页）