数列求和问题的探讨 毕业论文

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1、数列求和问题的探讨【摘要】数列求和问题是数列的基本内容之一,由于数列求和问题题型多样,技巧性也较强,以致成为数列的一个难点。鉴于此,下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧逐一探讨。本文将用一些较为简单和具代表性的例子,探讨将数列求和的方法和技巧渗透、融合,实现方法与内容的整合实践,阐述数列求和中一些具体方法与思想。【关键词】数列求和通项公式方法一、数列求和的思路数列是数学的重点内容之一,而数列求和是数列中较难的一个问题,技巧性强,覆盖面广,而且能有效地测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题的能力。数列求和是一个较复杂的数学问题,因此必须挖掘题设条件,从中发现规律,顺利完成求和问题。等

2、比、等差数列前n项和可以直接用通项公式求和;非等比、等差数列前n项求和的关键是从通项出发,分析其结构特征,若问题能转化为等差数列或等比数列求和的问题,则有基本求和公式可用,或变换通项,经过裂相等方法消去中间相,达到求和的目的;若通项是项数n的一次、二次、三次多项式的形式,则可以转化为正整数平方数列、立方数列进行求和。二、探究数列求和的方法1.公式求和法-9-如果给定的数列是由等差数列、等比数列、一些已知求和公式的特殊数列或这些数列通过和的形式组成,其前n项和可用已知公式直接求得。1、等差数列求和公式:2、等比数列求和公式:3、4、5、例1、已知是一个首项为,公比为的等比数列,求解:由已知得

3、,是首项为,公比为的等比数列。当时,当时,例2、已知数列为等差数列,且=,(,,),求。解:数列为等差数列,公差==-9-由等差数列求和公式,得例3、已知等差数列中,,求数列的前n项和.解:设等差数列的公差为,则,所以.由得,故数列是以首项为,公比为的等比数列.于是得数列的前n项和.2、错位相减法求数列和的前n项和,数列,分别为等差与等比数列.求和时在求式的两边承以公比后,与原数列的和作差,即,然后求即可.例1、求数列,,,…,的前n项和。解:=+++…++①作辅助数列:上式两边同时乘以=+++…++②于是①-②,得-=+(-)+(-)+…+(-)-∴=++++…+--9-=-=1--∴=

4、2--例2、求和解:,①,②①②,得==故3、倒序相加法倒序相加是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。它是由高斯求和法而来,如果数列的任意第K项与倒数第K项之和等于首项与末项之和(某两项之和、某个定值或相加后成为一个基本数列),由此启发出求一类一般数列前n项和的方法。即将数列反序,再把正序与倒序对应项相加,使相加后的数列为一个简单数列,化繁为简,化未知为已知,达到求和的目的。例1、已知,求解:(1)(2)-9-(1)+(2)得,所以.4、分组求和法有一类数列,既不是等差数列或等比数列,也不是易求和数列,但可以“转化”为这类数列来求和。其通项是几项等差数列、等比数列或易求和数列通项的和(

5、差)式。若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比、常见易求和的数列,然后通过重新组合的方法,使其转化为几个等差数列、等比数列,或转化为易求和数列的前n项求和,再将其合并,即可求出原数列的前n项和,以达到目的。例1、已知数列中的相邻两项是关于的方的两根,且.(1)求;(2)求数列的前项和.解:(1)方程的两根为.当k=1时,,所以;当k=2时,,所以;当k=3时,,所以;当k=4时,,所以.(2)因为.所以.五、裂项相消法如果一个数列的通项能拆成两项之差,即-9-的每一项都可按此法化为某两项之差,然后重新组合,在求和时可以将一些正负项相互抵消,采用对消的方法求出到求和的目的。使用此法,可使

6、解题达到事半功倍的效果。常用的裂项相消变换有:①分式裂项:;.②根式裂项:.③对数式裂项:.④指数式裂项:.⑤正切差角公式裂项:.例1、求数列,,,…,的前n项和。解:∵an==-∴=+++…+=1-+-+-+…+-=1-=例2、求数列的前n项和.解:设(裂项)则(裂项求和)-9-==例3、在数列中,,又,求数列{bn}的前n项的和.解:∵∴(裂项)∴数列{bn}的前n项和(裂项求和)==六、累加法针对某一类数列求和的问题,需要先引进一个恒等式,再通过把几个等式累加,可达到目的。一般引用的恒等式比数列通项高一次方,且是两个连续自然数的一定次方的差,列出含有通项的几个恒等式,通过迭加消去中间

7、某些项,最后求得和式的一种方法。例4:求数列12,22,32,…,n2的前n项和。解:∵(n+1)3=n3+3n2+3n+1∴(n+1)3-n3=3n2+3n+1∴23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3n2+3n+1把上面各等式两边分别相加,得-9-(n+1)3-13=3(12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n∴3(1

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