数列求和问题目的探讨论

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1、数列求和问题的探讨【摘要】数列求和问题是数列的基本内容之一，由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧逐一探讨。本文将用一些较为简单和具代表性的例子，探讨将数列求和的方法和技巧渗透、融合，实现方法与内容的整合实践，阐述数列求和中一些具体方法与思想。【关键词】数列求和通项公式方法一、数列求和的思路数列是数学的重点内容之一，而数列求和是数列中较难的一个问题，技巧性强，覆盖面广，而且能有效地测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题的能力。数列求和是一个较复杂的数学问题，因此必须挖掘题设条件，从中发现规律，顺利完

2、成求和问题。等比、等差数列前n项和可以直接用通项公式求和；非等比、等差数列前n项求和的关键是从通项出发，分析其结构特征，若问题能转化为等差数列或等比数列求和的问题，则有基本求和公式可用，或变换通项，经过裂相等方法消去中间相，达到求和的目的；若通项是项数n的一次、二次、三次多项式的形式，则可以转化为正整数平方数列、立方数列进行求和。二、探究数列求和的方法1.公式求和法-9-如果给定的数列是由等差数列、等比数列、一些已知求和公式的特殊数列或这些数列通过和的形式组成，其前n项和可用已知公式直接求得。1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、例1、已知是一个首项为，公比

3、为的等比数列，求解：由已知得，是首项为，公比为的等比数列。当时，当时，例2、已知数列为等差数列，且=，（，，），求。解：数列为等差数列，公差==-9-由等差数列求和公式，得例3、已知等差数列中，，求数列的前n项和.解：设等差数列的公差为，则，所以.由得，故数列是以首项为，公比为的等比数列.于是得数列的前n项和.2、错位相减法求数列和的前n项和，数列，分别为等差与等比数列.求和时在求式的两边承以公比后，与原数列的和作差，即，然后求即可.例1、求数列，，，…，的前n项和。解：=+++…++①作辅助数列：上式两边同时乘以=+++…++②于是①-②，得-=+（-）+（-）+…+（-）

4、-∴=++++…+--9-=-=1--∴=2--例2、求和解：，①，②①②，得==故3、倒序相加法倒序相加是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。它是由高斯求和法而来，如果数列的任意第K项与倒数第K项之和等于首项与末项之和（某两项之和、某个定值或相加后成为一个基本数列），由此启发出求一类一般数列前n项和的方法。即将数列反序，再把正序与倒序对应项相加，使相加后的数列为一个简单数列，化繁为简，化未知为已知，达到求和的目的。例1、已知，求解：（1）（2）-9-（1）+（2）得，所以.4、分组求和法有一类数列，既不是等差数列或等比数列，也不是易求和数列，但可以“转化”为这类数列来求

5、和。其通项是几项等差数列、等比数列或易求和数列通项的和（差）式。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比、常见易求和的数列，然后通过重新组合的方法，使其转化为几个等差数列、等比数列，或转化为易求和数列的前n项求和，再将其合并，即可求出原数列的前n项和，以达到目的。例1、已知数列中的相邻两项是关于的方的两根，且.（1）求；（2）求数列的前项和.解：（1）方程的两根为.当k=1时，，所以；当k=2时，，所以；当k=3时，，所以；当k=4时，，所以.（2）因为.所以.五、裂项相消法如果一个数列的通项能拆成两项之差，即-9-的每一项都可按此法化为某两项之差，然后重新组合，在求和时可

6、以将一些正负项相互抵消，采用对消的方法求出到求和的目的。使用此法，可使解题达到事半功倍的效果。常用的裂项相消变换有：①分式裂项：；.②根式裂项：.③对数式裂项：.④指数式裂项：.⑤正切差角公式裂项：.例1、求数列，，，…，的前n项和。解：∵an==-∴=+++…+=1-+-+-+…+-=1-=例2、求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）-9-＝＝例3、在数列中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：∵∴（裂项）∴数列{bn}的前n项和（裂项求和）＝＝六、累加法针对某一类数列求和的问题，需要先引进一个恒等式，再通过把几个等式累加，可达到目的。一般引用的恒等式比数列通项高

7、一次方，且是两个连续自然数的一定次方的差，列出含有通项的几个恒等式，通过迭加消去中间某些项，最后求得和式的一种方法。例4：求数列12，22，32，…，n2的前n项和。解：∵（n+1）3=n3+3n2+3n+1∴（n+1）3-n3=3n2+3n+1∴23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……（n+1）3-n3=3n2+3n+1把上面各等式两边分别相加，得-9-（n+1）3-13=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n∴3（1