浅谈抽象函数的解题方法.doc

《浅谈抽象函数的解题方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浅谈抽象函数的解题方法【摘要】函数是高中数学的重要内容，抽象函数是相对于具体的函数而言，指没有给出函数解析式或对应法则，只是给出函数所满足的一些性质，抽象函数一般是指满足这些性质的一类函数.求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础和较强的抽象思维和逻辑推理能力.随着对数学考题的要求更多变，抽象函数问题在高考命题中呈现逐渐加强的趋势.【关键词】高中数学；抽象函数；解题技巧一、赋值法赋值法是把已知函数所满足的所有性质，即一般性条件，赋予特殊的值，推出函数所必须满足的其他性质.例1己知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)=0,对任意XER,

2、都有f(x+6)二f(x)+f(6)成立，则f(2007)=O.A.2006B.2007C.2008D.0解析f(-3)=0，取x=_3代入f(x+6)=f(x)+f(6)，得f(6)二0，f(x+6)(x)，周期为6,选D.例2(2005年重庆高考)己知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)_x2+x.(I)若f(2)=3，求f(1)；乂若f(0)=a，求f(a(II)设有且仅有一个实数xO,使得f(xO)=x0,求函数f(x)的解析表达式.解(I)取x=2，又f(2)=3，得f(f(2)-22+2)=f(2)-22

3、+2,即f(1)二1.又f(0)故f(f(0)-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.(II)乂满足f(xO)=x0的实数xO唯一.由f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x可知对任意xER有f(x)_x2+x二xO.在上式中令x=x0有f(xO)-x02+x0=x0.又f(xO)=x0得x0-x02=0.故x0=0或x0=l.若x0=0,方程f(x)=x有两个根，故xOt^O.若x0=l,则冇f(x)二x2-x+l.易验证该函数满足题设.“赋值法”是解抽象函数问题最常用的方法，解题的关键是灵活运用题设条件合理赋值，赋值要有明确的目标

4、、依据和灵活的策略.二、变换法利用己知函数所满足的一般性的关系式，通过变量代换，推出所要求的关系式.例3下列命题正确的序号是.①若f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图像关于直线对称；②若f(a+x)+f(a-x)=2c，则y=f(x)的图像关于点(a，c)中心对称；③函数y=f(a+x)与y=f(b_x)的图像关于直线对称；④函数y=f(a+x)与y=_f(b-x)的图像关于点屮心对称.解析①②③④都正确.证明①②③证明略.④设函数y=f(a+x)图像上任意一?cM(m，n)，关于点Ab-a2，0对称的点为N(b-a~m

5、,-n)，则n=f(a+m)，-f(b-(b-a-m))=-f(a+m)=-n,所以y=f(a+x)图像上任意一点关于点A对称的点都在y=-f(b-x)的图像上.同理，y=-f(b-x)图像上任意一点关于点A对称的点都在y=f(a+x)的图像上.命题正确.三、抽象函数的解析式问题例4已知函数f(x)对一切实数x，y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+l)成立，且f(1)=0，求f(x)解析式.分析抽象函数的解析式问题一般用赋值法求解.解7函数f(x)对一切实数x，y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+l)成立，If(1)=0,令x

6、=l，y=0,得f(1)-f(0)=2,...f(0)=f(1)-2=-2.在f(x+y)-f(y)=x(x+2y+l)中再令y=0得f(x)-f(0)二x(x+1).•••f(x)=f(0)+x(x+1)=x2+x-2.••.f(x)=x2+x~2.可以看出对不同类型的抽象函数问题，可以用不同的求解策略，有时根裾所给条件，可利用具体函数模型来寻求解题思路，或检验解答是否正确，从而化抽象为具体，有利于问题的解决.【参考文献】[1]张卫东.对抽象函数周期性的探宄[J].中学数学研宄，2012(15).[2]杨其武.函数三性的关系及简单应用[J]

7、.中学数学研究，2012(10).[3]张真平.抽象函数定义域的形象化求法[J].教育教学论坛，2011