高等概率论读书报告

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1、高等概率论读书报告MF1221021王开凡概率论自创立以来，己经从起初分析赌博中的问题发展成为现代数学的主流分支之一。现代概率论的研宄方向和研宄方法匕经获得了极大发展，特别是近几十年，概率论和其他学科逐渐交叉结合，形成了一些新的学科分支和增长点，并且在科学研究和实际应用中都取得了突出成果。这些成果的取得，都源于概率论公理化体系的建立。1933年，克尔莫格罗夫提出的公理化体系己经成为目前为止得到最为广泛认可的概率论的理论基础，公理化体系的建立标志着概率论成力一门具有坚实逻辑基础的数学分支，它不仅让概

2、率理论结构清晰、逻辑严密，并且让概率理论本身和与概率论相关的其他数学理论获得了实质性发展。因此研读概率论的发展史，尤其是其公理化的历史，对我们探索概率思想的发展变化及其未来的发展有重要意义。十九世纪概率论经过法国数学家拉普拉斯和泊松、德国数学家高斯、俄国数学家齐切比雪夫等人的进一步研究，积累了很多重要成果。遗憾的是，当时的概率论仍缺乏一些基本概念（如概率、随机事件、随机变量等）的清晰定义，由于没有严格的逻辑基础，一些悖论应运而生，其中最著名的的是法国数学家贝特朗给出的一个集合概率的悖论。悖论敲响了

3、警钟，人们不得不重新审视概率论的数学基础。1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的讲演，提出來23个指引二十世纪数学发展的重要问题，其中第六问题涉及概率论的公理化。1909年，法国数学家波莱尔首次把概率论与测度论结合起来，定义了可数事件集的概率。相对古典概率而言，这一工作拓展了对概率的认识；1917年，苏联数学家伯恩斯坦构建了概率论的第一公理体系；1919年，奥地利数学家米泽斯完成了概率的频率定义和统计定义的公理化，之后还相继出现了一些主观概率的公理体系。然

4、而，所以这些工作都只是前奏，它们或欠缺合理性，或缺乏权威性。随着大数定律和极限理论的深入研究人们逐渐意识到概率论与测度论之间存在着深刻的联系，概率论公理化的曙光才真正来临。1933年，苏联数学家克尔莫格罗夫总结了前人的工作，在他的《概率论基本概念》中首次利用测度论构建了科学的概率论公理化体系。该体系为大部分数学家所接受，从此概率论为近代数学最重要的分支之一，并得到迅速的发展。概率论的发展历史一般分为四个时期.•（1）萌芽时期（1653年之前），以统计数据为主要手段，分析贸易、保险、赌博、占卜等人类

5、实际生活领域中的一些问题。（2）古典概率论时期（1654-1811年），用代数及组合方法为研宄手段，以研宄离散型随机变量为主。（3）分析概率论时期（1812-1932）,用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研宄连续型随机变景为主。（4）现代概率论时期（1933年至今），以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础，研究方向呈现多元化。概率论发展各阶段的标志性著作是：(1)惠更斯的《论赌博中的计算》。该书是历史上最早的概率论著作，它的出版被看做是概率论诞生的标志。(2)拉普拉斯的《分析概率论》。

6、该书对拉普拉斯之前的古典概率理论进行Y系统完整的总结，并在概率推理中引入丫当时己经发展起来的数学分析方法，使概率论进入了分析概率论时期，开创了概率论发展的新时期。(3)克尔莫格罗夫的《概率论基本概念》。该书在历史上首次建立了科学的概率论公理化体系，为概率论奠定了坚实的理论基础，从而使其成为一门严格的数学分支，促进Y概率论在二十世纪的迅速发展。20世纪30年代以来，因为概率论公理化体系的建立以及科学研究中的一些实际问题的推动，概率论得到了快速的发展，不断取得理论上的新突破。目前主要研宄方向有极限理论

7、、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。(1)极限理论极限理论主要研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性相关的问题。20世纪30年代以后，随机变量序列的极限理论(主要是中心极限定理)的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列等情形，以及研究收敛速度问题。近年来，由于统计物理学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。自1951年唐斯克提出不变原理(随机过程的极限定理)后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的中心课题，普罗霍洛夫及斯科罗

8、霍德在这方面做出丫最主要的贡献。1964年斯特拉森的工作出现后，引起丫有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致了一些新的结果。(2)独立增量过程人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松运动，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代己臻成熟。在这些研究中，包含了许多重要的方法和概念，概率论的许多近代研究课题都直接或间接地受其启发与影响。(3)马尔科夫过