下学期4.3 任意角的三角函数

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1、下学期4.3任意角的三角函数下学期>>4.3任意角的三角函数任意角的三角函数教学目标：　　1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．　　2．掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）教学重点：　　任意角的三角函数的定义．教学难点：　　任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．教学用具：　　直尺、圆规、投影仪．教学步骤：1．设置情境　　角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢

2、？本节课就来讨论这一问题．2．探索研究（1）复习回忆锐角三角函数　　我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．（2）任意角的三角函数定义　　如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则．定义：①比值叫做的正弦，记作12345678910...下一页>>....，。，即．　　②比值叫做的余弦，记作，即．图1　　③比值叫

3、做的正切，记作，即．　　同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？　　利用三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．　　请同学们观察当时，上一页12345678910...下一页>>....，。的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．　　④比值叫做的余切，记作

4、，则．　　⑤比值叫做的正割，记作，则．　　⑥比值叫做的余割，记作，则．可以看出：当上一页12345678910...下一页>>....，。时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以与的值不存在，当时，的值不存在，除此之外，对于确定的角，比值，，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．（3）三角函数是以实数为自变量的函数　　对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可

5、看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．　　即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）（4）三角函数的一种几何表示　　利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．上一页12345678910...下一页>>....，。图3　　设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点

6、，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：上一页12345678910...下一页>>....，。　　这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．（5）例题讲评　　【例1】已知

7、角的终边经过，求的六个三角函数值（如图4）．解：∵　　∴　　　　　　　　上一页12345678910...下一页>>....，。　　　　　　提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（分，两种情形讨论）【例2】求下列各角的六个三角函数值　　（1）；（2）；（3）．解：（1）∵当时，，　　∴，，　　上一页12345678910...下一页>>....，。不存在，，不存在　　（2）∵当时，，　　∴，　　不存在　　不存在　　（3）当时，，　　∴　　不存在上一页12345678910...下一页>&

8、gt;....，。不存在【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．　　解：，的正弦线，余弦线，正切线分别为．【例4】求证：当为锐角时，．　　证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切线，连　　∵　　∴　　∴上一页12345678910...下一页>>....，。利用三角函数线还可以得