在平面直角坐标系xoy中，矩形abco的顶点a、c分别在y轴、x轴正半轴上，点p在ab上，pa=1，ao=2．经过原点

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1、在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点　　在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线的对称轴是直线x=2．　　（1）求出该抛物线的解析式．　　（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：　　①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E

2、和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．　　②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．　　【解析】　　（1）∵抛物线经过原点，∴n=0。　　∵抛物线对称轴为直线x=2，∴，解得。　　∴抛物线的解析式为：。　　（2）①的值不变。理由如下：　　如答图1所示，过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=AO=2．　　∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF。．　

3、　在Rt△PAE与Rt△PGF中，　　∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，　　∴Rt△PAE∽Rt△PGF。　　∴。．　　②存在。　　抛物线的解析式为：，　　令y=0，即，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）。　　又，∴顶点M坐标为（2，﹣1）。　　若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形：　　（ⅰ）FM=FD，如答图2所示，　　过点M作MN⊥x轴于点N，则MN=1，ND=2，。　　设FM=FD=x，则NF=ND﹣FD=2﹣x．　　在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，　　即：，解得：

4、。　　∴FD=，OF=OD﹣FD。　　∴F（，0）。　　（ⅱ）若FD=DM．如答图3所示，　　此时FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=。　　∴F（，0）。　　（ⅲ）若FM=MD，　　由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合，而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O。　　∴此种情形不存在。　　综上所述，存在点F（，0）或F（，0），使△DMF为等腰三角形。