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时间:2018-11-13
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1、知识框架圆心角定理圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即:①∟AOB=∟DOE;②AB=DE;③OC=OF;④弧=弧1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:∵∟AOB和∟ACB是弧所对的圆心角和圆周角∴∟AOB=2∟ACB2、圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;即:在⊙中,∵∟C、∟D都是所对的圆周角∴∟C=∟D推论2:半圆或直径所对
2、的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在⊙中,∵是直径或∵∟C=90°∴∟C=90°∴是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在△中,∵OC=OA=OB∴△是直角三角形或∟C=90°注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。【典型例题】考点一:圆心角,弧,弦的位置关系例1、如图,BE是半径为6的圆D的四分之一圆周,C点是BE上的任意一点,△ABD是等边三角
3、形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是( )例2、下列语句中正确的是( )A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴例3、有下列说法:①等弧的长度相等;②直径是圆中最长的弦;③相等的圆心角对的弧相等;④圆中90°角所对的弦是直径;⑤同圆中等弦所对的圆周角相等.其中正确的有( )例4、(2007•重庆)如图,AB是⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°,给出下列五个结论:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧
4、AE是劣孤DE的2倍;⑤AE=BC.其中正确结论的序号是考点二:圆周角定理例1如图,ABC中,∠A=60°,BC为定长,以BC为直径的⊙O分别交AB,AC于点D,E.连接DE,已知DE=EC.下列结论:①BC=2DE;②BD+CE=2DE.其中一定正确的有( )3例2、(2011•衢州)一个圆形人工湖如图所示,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m,测得圆周角∠ACB=45°,则这个人工湖的直径AD为( )例3、(2010•荆门)如图,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN^的中点,P是直径MN上一动点,则P
5、A+PB的最小值为( )、考点三:内接圆的四边形的性质例1、(2006•宁德)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,若∠BCD=110°,则∠BAD为( )例2、(2008•济宁)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=76°,则∠CBD=度.例3、如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD交BD于点E,⊙O的半径为4,∠BAD=60°,∠BCA=15°,则AE=【课堂练习】1、(2004•南宁)如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则AC^与CB^弧长的大小关系是2、如图,已
6、知AB是⊙O的直径,PA=PB,∠P=60°,则弧CD所对的圆心角等于度.3、(2009•哈尔滨)如图,在⊙O中,D、E分别为半径OA、OB上的点,且AD=BE.点C为弧AB上一点,连接CD、CE、CO,∠AOC=∠BOC.求证:CD=CE.4、(2011•重庆)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,则∠A的度数等于( )5、(2011•福建)如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,若∠C=40°,则∠ABD的度数为( )6、(2005•镇江)如图,⊙O是等边三角形ABC的外接圆,D、E是⊙O上两点,则∠D=度,∠E=度7、在△
7、ABC中,∠A=150°,BC=6cm,则△ABC的外接圆的半径为cm.8、如图,点A、B、C、D、E将圆五等分,则∠CAD=度。9、如图,点A、B、C在⊙O上,∠C=150°,则∠AOB=。10、如图,△ABC内接于⊙O,AD是直径,AD、BC相交于点E,若∠ABC=50°,通过计算,请再写出其他两个角的度数(不添加新的字母或线段):。3第8题第9题第10题11.如图所示,已知:AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,求证:CE=BE12.如图所示,△ABC为圆内接三角形,AB>AC,∠A的平分线AD交圆于D,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求
8、证:BE=CF☆13.如图所示,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于D点,连接BD
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