二次函数与相似三角形综合题

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1、二次函数与相似三角形综合题黄陂区实验中学邓静教学目标：1、会求二次函数解析式；2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。教学重点：1、求二次函数解析式；2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。教学难点：根据条件构造相似三角形解决问题。情感与态度：1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心。3、培养学生科学探索的精神。教学过程：一、复习巩固如图，抛物

2、线y=ax2+bx－2与x轴交于点A（－1，0），B（m，0）两点，与y轴交于C点，且∠ACB=90°，求抛物线的解析式.分析：OC2=OA·OB∴4=1×m，m=4∴B（4，0）设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－4)代入C点（0，－2）∴抛物线解析式为.二、新授例题、如图，直线y=－x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2，（1）求抛物线解析式；（2）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB

3、相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由.（3）D点为第四象限的抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴，交CB于E，垂足于H，过D作DF⊥CB，垂足为F，交x轴于G，试问是否存在这样的点D，使得△DEF的周长恰好被x轴平分？若能，请求出D点坐标；若不能，请说明理由.[解]（1）直线与轴相交于点，当时，，点的坐标为．又抛物线过轴上的两点，且对称轴为，根据抛物线的对称性，点的坐标为．过点，易知，．又抛物线过点，∴，经过点．（2）连结，由，得，设抛物线的对称轴交轴于点，在中，，．由点易得，在等腰直角三角形中，，由勾股定理，得

4、．假设在轴上存在点，使得以点为顶点的三角形与相似．①当，时，．即，，又，点与点重合，的坐标是．②当，时，．即，．，的坐标是．．点不可能在点右侧的轴上．综上所述，在轴上存在两点，能使得以点为顶点的三角形与相似．（3）设D（a，a2－4a+3），则E（a，－a+3）△DFE∽△BOC∴DE：BC=L△DEF：L△BOC∴=∴L△DEF=()×(－a2+3a)∴DH+DG====()×(－a2+3a)∴=∴a1=2，a2=3(舍)∴D（2，－1）应用变式：1、在此抛物线上是否存在P点？使得∠1+∠2=45°，若存在，请求出P点

5、坐标；若不存在，请说明理由.分析：（1）延长CP与x轴交于E点，∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2∴∠1=∠E，又∵∠COA公共∴△OCA∽△OEC∴OC2=OA·OEOC2=9=1×OE∴OE=9∴E（9，0）∴ 直线解析式联立直线与抛物线∴ P的坐标为（，）（2）P点与A点重合，P（1，0），∴ 综上所述，P的坐标为（），（1，0）.2、在上题抛物线中，P为抛物线上一点，PE⊥BC于E，且CE=3PE，求P点坐标.分析：连AC、PC，证△PEC∽△OAC，∠OCA=∠PCE，∴∠PCA=45°.延长CP交x轴于

6、N，△ACB∽△ANC，AC2=AB·AN，∴N（6，0），，联立抛物线，得P（）.三、小结点的坐标是综合题的立足点（求解析式），又是综合题的制高点（求满足条件的点的坐标或存在性探求），求点的坐标一般历经下面两个关键步骤：（1）定位（2）计算四、作业练习1、如图，抛物线A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于C（0,－2），过A、C画直线，点M在y轴右侧的抛物线上，从M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H，且ΔCHM∽ΔAOC,求M点坐标.