二次函数与几何综合--面积问题

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1、二次函数与几何综合--面积问题Ø知识点睛1.“函数与几何综合”问题的处理原则:_________________,__________________.2.研究背景图形:①研究函数表达式.二次函数关注____________,一次函数关注__________.②___________________________.找特殊图形、特殊位置关系,寻求边长和角度信息.3.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法:②转化法——借助平行线转化:若S△ABP=S△ABQ,若S△ABP=S△ABQ,当P,Q在AB同侧时,当P,Q在AB异侧时,PQ∥AB.AB平分PQ.Ø例题示范例1:如图,抛物

2、线y=ax2+2ax-3a与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OA=OC,连接AC.(1)求抛物线的解析式.(2)若点P是直线AC下方抛物线上一动点,求△ACP面积的最大值.(3)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.第一问:研究背景图形【思路分析】读题标注,注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a,可以求解A(-3,0),B(1,0),对称轴为直线x=-1;结合题中给出的OA=OC,可得C(0,-3),代入表达式,即可求得抛物线解析式.再结合所

3、求线段长来观察几何图形,发现△AOC为等腰直角三角形.解得,,∴.【过程示范】解:(1)由可知,,∵,∴,将代入,第二问:铅垂法求面积【思路分析】(1)整合信息,分析特征:由所求的目标入手分析,目标为S△ACP的最大值,分析A,C为定点,P为动点且P在直线AC下方的抛物线上运动,即-3

4、性【思路分析】分析不变特征:以A,B,E,F为顶点的四边形中,A,B为定点,E,F为动点,定点A,B连接成为定线段AB.分析形成因素:要使这个四边形为平行四边形.首先考虑AB在平行四边形中的作用,四个顶点用逗号隔开,位置不确定,则AB既可以作边,也可以作对角线.画图求解:先根据平行四边形的判定来确定EF和AB之间应满足的条件,再通过平移和旋转来尝试画图,确定图形后设计方案求解.①AB作为边时,依据平行四边形的判定,需满足EF∥AB且EF=AB,要找EF,可借助平移.点E在对称轴上,沿直线容易平移,故将线段AB拿出来沿对称轴上下方向平移,确保点E在对称轴上,来找抛物线上的点F.注意:在对称轴

5、的左、右两侧分别平移.找出点之后,设出对称轴上E点坐标,利用平行且相等表达抛物线上F点坐标,代入抛物线解析式求解.②AB作为对角线时,依据平行四边形的判定,需满足AB,EF互相平分,先找到定线段AB的中点,在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置,因为E和AB中点都在抛物线对称轴上,说明EF所在直线即为抛物线对称轴,则与抛物线的交点(抛物线顶点)即为F点坐标.结果验证:画图或推理,根据运动范围考虑是否找全各种情形.【过程示范】(3)①当AB为边时,AB∥EF且AB=EF,如图所示,设E点坐标为(-1,m),当四边形是□ABFE时,由,可知,F1(3,m),代入抛物线解析式,可得,m=1

6、2,∴F1(3,12);当四边形是□ABEF时,由,可知,F2(-5,m),代入抛物线解析式,可得,m=12,∴F2(-5,12).②当AB为对角线时,AB与EF互相平分,AB的中点D(-1,0),设E(-1,m),则F(-1,-m),代入抛物线解析式,可得,m=4,∴F3(-1,-4).综上:F1(3,12),F2(-5,12),F3(-1,-4).精讲精练1.如图,抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)点M是直线BC上方抛物线上的点(不与B,C重合),过点M作MN∥y轴交线段BC于点N,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长.

7、(3)在(2)的条件下,连接MB,MC,是否存在点M,使四边形OBMC的面积最大?若存在,求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积;若不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,点A,B在x轴上,点C,D在y轴上且OB=OC=3,OA=OD=1,抛物线经过A,B,C三点,直线AD与抛物线交于另一点E.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若M是直线AD上方抛物线上的一个动点,求△AME面积的最大值.(3)在直线AD下方

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