线性代数---矩 阵

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1、第二章矩阵2.1矩阵的概念例1：设有线性方程组5-1-1-11-21338-1111-9377这个阵列将决定着此方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题。例2：某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如下表：产品产值季度产品1产品2产品3产品4第一季度80587578第二季度98708584第三季度90759090第四季度8870828058757870858475909088708280排成4行4列的产值阵列例3：生产m种产品需要n种材料，如果以表示生产第种产品耗用第种材料的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如下：材料定额产品1212由m行n列构成的消耗定额

2、阵列这个阵列描述了生产过程中产出与投入材料的数量关系这种阵列在经济领域是会常常遇到的，这种矩形阵列称为矩阵。定义：由个数排成一个行列的矩形数表，称为一个矩阵。为了标明矩阵的行数和列数，可用表示，或记作。当时，则称为阶方阵。零矩阵：所有元素均为零的矩阵。记作O行列式与矩阵的区别：行列式：行数必须等于列数；行列式是一个代数式、有展开式、有行列式的值。矩阵：行数等于列数或行数不等于列数均可；矩阵是一个数表，是一个整体。问题1：行列式相等指的是什么相等？答：指的是行列式的值相等。问题2：矩阵相等指的是什么相等？答：指的是对应位置的对应元素相等。定义2：2.2矩阵的运算(一)矩阵的加法运算

3、(二)矩阵的数乘运算定义：当时负矩阵：（三)矩阵的减法运算律：例1：已知矩阵和且,求X解题思路：例5：设为三阶矩阵，若已知,求:解：（四）矩阵的乘法例1：某地区有3个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，生产甲、乙2种产品，矩阵A表示一年中各工厂生产各种产品的数量，矩阵B表示各种产品的单位价格（元）及单位利润(元），矩阵C表示各工厂的总收入及总利润。甲乙甲乙单位价格单位利润总收入总利润即矩阵C中第行第列的元素等于矩阵A第行元素与矩阵B第列对应元素乘积的和。定义：设矩阵的列数与矩阵的行数相同，则其中即记：例：若，，求AB解：显然：例：若，，求AB解：求：BA没意义因为B的列数不等于A的行数，BA不可作乘

4、法例：若，，求AB及BA解：显然:1.矩阵的乘法一般不满足交换律2.两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。例：若，，求AB与BA解：若矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换。例：求与矩阵可交换的一切矩阵。分析：与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵，设为B则因为AB=BA，所以对应元素相等，即：其中为任意数。例：若,,有：即但可见：矩阵乘法不满足消去律例：在线性方程组中，若令则方程组可以表示为矩阵形式即例：解矩阵方程，X为二阶矩阵。解；设由题设，有即：解方程得所以矩阵的乘法有下列性质同阶矩阵A与B的乘积的行列式，等于矩阵A的行列式与矩阵B的行列式你的乘积。即