6.3一阶线性微分方程

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1、一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一、线性方程例如线性的;非线性的.6.3一阶线性微分方程齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1例2如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为伯努利(Bernoulli)方程的标准形

2、式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式解例3伯努利方程的解原方程可写为：令，则从而所以于是例4用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程思考题求微分方程的通解.思考题解答注：在微分方程中,通常将y看成x的函数，这样上题不是关于y=y（x）的线性方程。但如果将x看成y的函数，则方程可化为关于x=x(y)的线性方程。这种思想在判断一个微分方程是否为线性方程时非常重要。6.4一阶微分方程

3、的应用举例根据未知函数的导数的具体意义，运用有关学科的基本知识，发现含有未知函数的导数的等量关系，以建立描述该问题的微分方程，然后去解这个方程，借助于方程的解去解释与所讨论问题有关的种种现象。例1抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图得微分方程由夹角正切公式得分离变量积分得平方化简得抛物线例2有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度设在微小的时间

4、间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为