一阶线性微分方程.ppt

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1、一、线性方程二、伯努利方程§7.4一阶线性微分方程形如yP(x)yQ(x)的方程称为一阶线性微分方程并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程一阶线性微分方程考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？是非齐次线性方程y3x25x是非齐次线性方程(2)3x25xy0(3)yycosxesinx一、线性方程一、线性方程形如yP(x)yQ(x)的方程称为一阶线性微分方程并且当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程一阶线性微分方程齐次线性方程的通解齐次线性方程yP(x)y0是

2、变量可分离方程其通解为提示齐次线性方程的通解解:原方程可变为这是齐次线性方程。由通解公式得原方程的通解为即yC(x2)例求方程ydxdyx=-)2(的通解.提示:这里所用的方法称为常数变易法这种方法就是把齐次线性方程的通解中的任意常数C换成末知函数u(x)然后代入非齐次线性方程并确定出函数u(x)提示:代入后得到非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得齐次线性方程的通解设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为于是非齐次线性方程的通解为非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得齐次线性方程的通解设非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为积分得注非齐次线性方

3、程的通解也可为上式表明非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和非齐次线性方程的通解齐次线性方程的通解非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为解（1）非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为设：例1求方程25)1(12+=+-xxydxdy的通解.解（2）由通解公式得非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为例1求方程25)1(12+=+-xxydxdy的通解.令xyu,则原方程化为以uxy代入上式,得原方程的通解解：经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程两端积分得uln

4、u1

5、x

6、ln

7、C

8、。yln

9、xy1

10、ln

11、C

12、或xCeyy1。例3解方程yxdxdy+=1.二、伯努利方程叫做伯努利方程伯努利方程方程(n01)，下列方程是什么类型方程？是伯努利方程.是伯努利方程.是伯努利方程.不是伯努利方程.令z=y1-n得线性方程伯努利方程的解法以yn除方程的两边得例5求方程解：以y2除方程的两端得令zy1则上述方程成为这是一个线性方程它的通解为以y1代z得所求方程的通解为求下列各微分方程的解：