第10讲 第2章第7节 循环群

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1、近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第7节循环群研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三种问题:1.存在问题2.数量问题3.结构问题数量问题指的是彼此不同构的代数体系的数量,因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的.结构问题指的是该代数体系中元素的表达方式、运算规则以及生成元集、子体系等问题.研究群也需要解决以上问题,但我们又不可能将所有群找出来一一研究,而是要将群分类讨论.循环群是已经研究清楚的群之一，就是说这种群的元素表达方式和代数结构（运算规律），以及在同构意

2、义下这种群的数量等，都完全研究清楚了。整数加群Z模m的剩余类加群注：群中所有元都能由一个元表示，具体表示形式由运算决定。G={1,i,-1,-i}对于数的乘法作成的群思考:以下三个群有什么特殊的共性？若群G中每个元都能表示成某个固定元a的方幂，就称群G为循环群,也称群G为由元a生成的群，记为G=(a)=,称a是G的一个生成元.即，必存在一个整数m,使得因此定义：一、存在性例1：G={1,i,-1,-i}对于数的乘法是一个4阶循环群。i是其一个生成元。例2整数加群Z例3模n的剩余类加群(无限阶循环群)(n阶循环群)注：群中所有元都

3、能由一个元表示，具体表示形式由运算决定。引理1：设群G中元a的阶为n。则引理2：设群G中元a的阶为无限。则元素阶的性质事实上，事实上，二、构造定理1设循环群，a是其生成元。则；且2.G是n阶循环群；且1.G是无限阶循环群定理循环群，则(2)若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群同构.(1)若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构.证明：（2）（1）建立映射易知它是满射，且它是单射，因为而且因此它是同构映射.,同理可证。三.数量由此可知，循环群的结构完全由生成元的阶决定。（2）任意阶有限循环群均存在。两个有限循环群同构充要条件是它

4、们的阶相同。（1）从同构的角度看，无限循环群只有一个，即整数加群；n阶循环群只有一个，即模n的剩余类加群。▲循环群一定是交换群.结论1无限循环群的生成元仅有两个另外我们也有也是G的生成元结论2G是n阶循环群，（利用前面已证的结论，即可）因此，n阶循环群生成元的个数是0，1，2，…，n-1中与n互质的数的个数.关于循环群的子群结构及数量我们将在后面讲了子群一节后给出；研究群也可以从群的同态象入手，那么循环群的同态象有什么特点呢？本节课后习题中有涉及。例4：找出下列群的生成元