奥数：第07讲 几何问题第10讲

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1、第07讲几何问题第十讲几何综合之一例1今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过．而且每行都通过三盆花，请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行．答案如图7—1所示．分析要求摆成9行，每行都通过3盆花，所以总共通过27盆(次)花．另一方面，每盆花都有3行通过，所以每盆花都数了3次．9盆花总共数了27次，与前面的计算结果相符，所以题中的设计方案是可以实现的．详解因为每盆花都有3行通过，所以花的位置应该是3条直线的交点，而且每条直线都要经过3个点．通过构造三角形的设计方案，可以得到符合条件的解．评注本

2、题答案可以不唯一．例2图7—2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段?答案6条．详解为了说明的方便，将图7—2中各个顶点分别标号，如图7—3所示．假设有一只蚂蚁从A点出发，顺从A到B的顺时针方向沿着图7—3的边爬行一周，最后又回到A点，则它爬行的路程正好是图形的周长．由于蚂蚁从A点出发，又回到了A点，所以它向右爬行的总路程等于向左爬行的总路程．蚂蚁从左到右爬行的线段有AB、CD、EF，从右到左爬行的线段有C,H、I．1、KL、MN、OP，所以同理，蚂蚁向上爬行的

3、总路程等于向下爬行的总路程．蚂蚁从上到下爬行的线段有BC,、FG、LM，从下向上爬行的线段有DE、HI、．，K、NO、PA．所以!因此，我们只需分别量出线段AB、CD、EF、BC、FG、LM的长度，然后将它们的和乘以2倍，就可以得到图7—2的周长．评注用这种“蚂蚁上下山”法，可以很容易解决这一类问题．请参阅三年级第19讲例5．例3如图7—4，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?答案48平方厘米．分析题中惟一的已知条件是小正六角星的面积，要求出大正六角星的面积，必须将它和小正

4、六角形进行比较．为了便于比较，可以先把小正六角形分割成12个大小完全相同等边三角形，如图7—5所示．显然，三角形ABD和三三二角形ADC等底同高，面积相等。同样，三角形BFA和三角形BAE也等底同高，面积相等．这样通过分割比较，就可以得到大正六角形的面积．详解由分析知，小正六角星被分成了12个面积相等的等边三角形，每个等边三角形的面积等于16÷12=平方厘米．因为三角形ABD与三角形ADC的面积相等，所以三角形ABD的面积也是平方厘米：同理，三角形ACE的面积也等于鲁平方厘米．由此可得：由分析知，三角形BFA~NBAE

5、面积相等，所以三角形BFA的面积等于4平方厘米．由观察可以看出，大正六角星由小正六角星、6个与三角形ABD大小形状完全一样的三角形，以及6个与三角形BAF大小形状完全一样的三角形组成．所以评注先分割，然后再分块比较，是由已知图形的面积计算未知图形面积的一种常用方法．例4如图7—6，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．那么三角形ABC的面积是多少?答案72．分析如果知道三角形PDG、PEH、PFI各自的

6、面积，则三角形ABC的面积就等于三个四边形和上述三个三角形的面积之和．但是题中没有给出任何长度的信息，要计算三角形PDG、PEH、PIV的面积，惟一可行的办法是把它们和三个已知面积的四边形比较，找出它们面积之间的关系．在比较过程中，三角形之间的面积关系是最容易分析的，所以应该添加辅助线，把四边形分割成三角形，然后再进行比较．详解显然四边形AIPD、PGCH、FPEB都是平行四边形．因为平行四边形FPEB与平行四边形Pl；CH的高相等，所以它们的面积比等于它们的底边长度之比．因此有：同样的道理我们先计算三角形PEH的面积

7、．连接线段PC、HD，如图7—7所示．因为IH平行于AC，利用等底等高三角形面积相等，我们有注意到三角形HPE与三角形HPD底边共线，高相等，所以从而有接着计算三角形PGD的面积．连接线段EG、HG，如图7—8所示，因为FG平行于BC，同样利用等底等高三角形面积相等，有因为三角形GDP和三角形GPE底边共线，高相等，所以从而有最后计算三角形PFI的面积．连接线段FH、PB，如图7—9所示．因为FG平行BC，以因为三角形FPH和三角形FPI底边共线，高相等，所以从而有最后得评注利用线段之间的比例关系，求得面积的比例关系，

8、或者利用面积之间的比例关系，求得线段之间的比例关系，是几何计算中必须熟练掌握的技巧．例5如图7—10，三个同样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C、D、E是空出的部分．这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?答案5：3．分析已知的是图形