北邮概率论讲议 第8讲

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1、7/3/20211北京邮电大学电子工程学院1、关于事件的条件数学期望定义3.5.1设是概率空间(，F，P)上的随机变量，且E()存在，BF，P(B)>0，(，F，PB)为(，F，P)在事件B下的条件概率空间，称为在给定事件B下的条件数学期望，记为E(

2、B)。定理3.5.1若在上关于P的数学期望E()存在，P(B)>0，则E(

3、B)存在，且7/3/20212北京邮电大学电子工程学院证明：（1）当为示性函数时，不妨假设由定义3.5.3，有7/3/20213北京邮电大学电子工程学院（2）当为非负简单函数时，

4、由可测函数积分的性质，即可证明。（3）当为非负随机变量时，利用单调收敛定理即可得证。（4）当为一般随机变量时，显然也成立。7/3/20214北京邮电大学电子工程学院7/3/20215北京邮电大学电子工程学院则：7/3/20216北京邮电大学电子工程学院是一A-可测函数。可以从以下几个方面来理解A-可测函数的意义:7/3/20217北京邮电大学电子工程学院2、随机变量关于随机变量=x的条件数学期望前面给出了在=x条件下的条件分布函数F

5、(y

6、x)，我们将F

7、(y

8、x)简记为F(y

9、x)。考虑积分。由于是E()

10、的积分表达式，那么将理解为=x的条件下的条件数学期望是合理的，记为7/3/20218北京邮电大学电子工程学院7/3/20219北京邮电大学电子工程学院二、关于给定σ-代数下的条件数学期望（不讲）为了帮助大家充分理解条件数学期望的概念，下面给出随机变量的条件数学期望例。仅对连续型随机变量的情况给予说明：7/3/202110北京邮电大学电子工程学院例1：随机变量X、Y的取值为1,2，…，n，其概率分布为：求E(Y

11、i)，E(X

12、j)。解：首先求出条件分布律为：那么：7/3/202111北京邮电大学电子工程学院例2：设二维正态分布

13、服从N(0,1;0,1;r),试求f(y

14、x),f(x

15、y),E(Y

16、x),E(X

17、y)。解：已知7/3/202112北京邮电大学电子工程学院同理可得：而：同理可得：从此例可以看出，E(Y

18、x)，E(X

19、y)分别是x和y的函数。而E(Y

20、X)=rX；E(X

21、y)=rY。7/3/202113北京邮电大学电子工程学院7/3/202114北京邮电大学电子工程学院7/3/202115北京邮电大学电子工程学院7/3/202116北京邮电大学电子工程学院第六节几个重要的不等式一、Chebyshev不等式7/3/202117北京邮电大学电子工

22、程学院几个重要的不等式7/3/202118北京邮电大学电子工程学院7/3/202119北京邮电大学电子工程学院三、Cr-不等式7/3/202120北京邮电大学电子工程学院7/3/202121北京邮电大学电子工程学院解例7/3/202122北京邮电大学电子工程学院解例7/3/202123北京邮电大学电子工程学院7/3/202124北京邮电大学电子工程学院解例7/3/202125北京邮电大学电子工程学院7/3/202126北京邮电大学电子工程学院7/3/202127北京邮电大学电子工程学院第四章随机变量的特征函数为什么要引入特征函数

23、？积分的逆运算是微分（或求导），而求导运算要比积分运算简单得多，因此是否可将求数学期望的积分问题简化为求导问题？用分布函数求独立随机变量和的分布需要用卷积，是否可将卷积运算简化为乘积运算？7/3/202128北京邮电大学电子工程学院第一节随机变量的特征函数一、随机变量的特征函数定义4.1.1知特征函数的定义有意义。7/3/202129北京邮电大学电子工程学院若为离散型随机变量，其分布律为：若为连续型随机变量，分布函数为f(x)，则的特征函数为：7/3/202130北京邮电大学电子工程学院例1例27/3/202131北京邮电

24、大学电子工程学院例3例47/3/202132北京邮电大学电子工程学院例57/3/202133北京邮电大学电子工程学院另解：7/3/202134北京邮电大学电子工程学院二、特征函数的性质（1）证明：7/3/202135北京邮电大学电子工程学院（2）7/3/202136北京邮电大学电子工程学院（3）利用上述性质，可求正态分布的特征函数如下：7/3/202137北京邮电大学电子工程学院（4）7/3/202138北京邮电大学电子工程学院（5）例4.1.6请大家自学。7/3/202139北京邮电大学电子工程学院例67/3/202140北京

25、邮电大学电子工程学院