北邮概率论讲议 第3讲

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1、2021/8/12北京邮电大学电子工程学院1有了定义在集代数A上的测度，我们考虑如何产生测度在-代数(A)上的扩张？最后得到“测度扩张定理”。首先必须明白什么叫“扩张”？定义1.2.3A1，A2是上的两个非空集合类，且A1A2，i是Ai的测度(i=1,2)，若对AA1,有1(A)=2(A)，则称2是1在A2上的扩张(1是2在A1上的限制)。二、测度的扩张定理2021/8/12北京邮电大学电子工程学院2称FΩ上的v*是由A上的v所引出的外测度。(所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。)注意：这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。外测

2、度不见得是测度！！！以下讨论的前提是A是上的集代数，是A上的测度1、FΩ上的外测度*(A)对任意AFΩ，定义SA2021/8/12北京邮电大学电子工程学院3下确界：对于给定的数集S={x}，若数满足条件：(1)是S的下界，即对xS，有x;(2)对任何大于的数，一定存在S中某个数x0，使得x0<.(即对>0,x0S,使得x0<+)则称为数集S的下确界，记作：=infS例：2021/8/12北京邮电大学电子工程学院4引理1.2.1由集代数A上的测度引出的FΩ上的外测度*，满足：下面讨论外测度的性质：证明：（1）因AA，由外测度定义，有

3、：*(A)(A)因此，只需证明*(A)(A)不减性2021/8/12北京邮电大学电子工程学院5综上所述(A)=*(A)下面证明*(A)(A)，只需说明(A)为A的所有覆盖的测度和的下界即可2021/8/12北京邮电大学电子工程学院6即：外测度是单调上升的函数。即覆盖B的集合序列一定覆盖A2021/8/12北京邮电大学电子工程学院7则结论显然成立。由定义：2021/8/12北京邮电大学电子工程学院82021/8/12北京邮电大学电子工程学院9为了把那些满足可加性的集合挑选出来，我们引入*可测集的概念，并构成一个新的集合类A*，从下面的分析可以看到，该集合

4、类A*不仅为-代数，而且*是A*上的测度。问题：外测度*在FΩ上未必满足-可加性!2021/8/12北京邮电大学电子工程学院102、*可测集（1.2.3）（1.2.4）证明：必要性显然成立下面简单说明充分性：2021/8/12北京邮电大学电子工程学院11由引理1.2.1，有*()=0由引理1.2.1(3)知外测度函数*具有次可加性，则在引理1.2.1(3)中取我们记A*为所有*可测集组成的集合类。2021/8/12北京邮电大学电子工程学院12引理1.2.3A*满足：（1）A*是-代数；(若集代数对可列不交并封闭则为-代数）证明：（1）首先证明A*是集代数a

5、、∵*(Ø)=0，D，有：（1.2.4）式的定义具有对称性A*2021/8/12北京邮电大学电子工程学院13则有：A∪BA*综上所述知A*是集代数。（1.2.5）c、A，BA*，有：A∪BA*若A，BA*，则对D，有：2021/8/12北京邮电大学电子工程学院14下面说明A*是-代数，只需证A*对可列不交并运算封闭。设AnA*，n=1,2,…，AiAj=，ij，则：对D，有：2021/8/12北京邮电大学电子工程学院15令n，有：A*，则A*是-代数。（1.2.6）由前面结论，有：2021/8/12北京邮电大学电子工程学院16引

6、理1.2.3A*满足：2021/8/12北京邮电大学电子工程学院17由前面的结论，有:由（1.2.6）式：结论得证。2021/8/12北京邮电大学电子工程学院18（3）欲证*是A*上的测度，只须说明*在A*上满足-可加性。考虑到v*()=0，所以AA*上，有：v*(A)0则v*是A*上的测度。整个引理的证明完毕。2021/8/12北京邮电大学电子工程学院193、测度扩张定理问题：A*是否是包含A的-代数？*是A*上的测度*不降，满足次可加性？2021/8/12北京邮电大学电子工程学院203、测度扩张定理若A*是包含A的-代数，则*便是定义在A上的测度在

7、A*上的一个扩张；进一步地，这样的扩张唯一吗？为了保证唯一性，不必将扩张到A*上，而只需扩张到(A)即可。2021/8/12北京邮电大学电子工程学院21定理1.2.4设是Ω的集代数A上的测度，则在(A)上存在一个扩张；如果在A上是-有限的，则在(A)上的扩张是唯一的。证明：显然第一部分只需证：AA*AA，D，>0，存在A中集序列An，n=1,2,使得这是因为若AA*，则(A)A*,*是A*上的测度，则是(A)上的测度，且对于是*是在(A)上