同底指数函数与对数函数图象交点个数

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1、同底指数函数与对数函数图象交点个数必修一教材第76页有这样一个探究：指数函数与对数函数互为反函数，那么它们图象有什么关系呢？通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线对称，那么它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定.下面我们一起来研究下.分和两者情况进行讨论.1.当时在几何画板中，画出与图象，发现它们没有公共点（如图1）.当底数逐渐变小时，与图象与逐渐接近，然后相切（如图2），再相交（如图3），而且我们清楚地看到它们交点在上.图1图2图3

2、事实上，由反函数图象对称性知，确实如此，所以研究与图象交点情况即研究与图象交点情况.下面，我们从“临界状态”入手研究，从代数角度看只需联立方程让方程只有一个根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数（选修2-2中知识）解法如下：∴所以，当时，函数与图象与相切.根据指对数函数单调性以及以上分析得：当时，函数与图象有0个交点；当时，函数与图象有1个交点；当时，函数与图象有2个交点.1.当时同样地，我们也在几何画板中画出与图象，发现它们有一个交点（如图4）.当底数逐渐变小时，我们惊奇地发现与图象出现了3个交点（如图5）.图4图5由函数的单调性和连续

3、性知，当时，与图象不可能相切，所以交点情况只有1个或者3个.同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的的值，类似的，我们得到以下结论：当时，函数与图象有1个交点；当时，函数与图象有3个交点.综上所述，当时，函数与图象有0个交点；当或时，函数与图象有1个交点；当时，函数与图象有2个交点；当时，函数与图象有3个交点.微练习：1．下列命题①若点在函数图象上，则点在函数图象上②当时，函数的图象与直线无公共点③若点既在函数图象上，也在函数图象上，则④当时，函数的图象与直线有且只有一个公共点其中正确的命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知,则方

4、程实根的个数为（）A．1个B．2个C．1个或2个D．1个或2个或3个3．已知，则方程的实根的个数为（）A．2个B．3个C．2个或3个D．2个或4个【答案】1.①由反函数图象对称性知正确；②当时，函数的图象与直线可能有0个或1个或2个交点，所以错误；③当时，函数与函数交点有3个时，其中2个不在上，所以错误；④当时，函数与直线只有一个交点，所以正确.故选C.2.由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数与函数图象交点个数，而是把图象在轴下方部分作关于轴对称，又因为当时，函数与函数图象交点可能有0个或1个或2个，所以实根个数可能是1个或2个或3个，故选D.

5、3.当时，方程在区间内实根个数是1个或3个，在区间内的实根个数为1个，所以时，方程实根个数为2个或4个，故选D.