线性代数第一章

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1、线性代数安徽工业大学数理学院应用数学系谷勤勤LINEALGEBRA第1.1节行列式的定义线性代数主要内容:一、二阶与三阶行列式二、n阶行列式的定义问题的提出：求解二、三元线性方程组二阶、三阶行列式引出引出n阶行列式一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组：由消元法，得得同理，得于是，当时，方程组有唯一解.为便于记忆，引进记号称记号为二阶行列式.其中，数称为元素为行标，表明元素位于第行为列标，表明元素位于第列注:(1)二阶行列式算出来是一个数.(2)记忆方法：对角线法则主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积.因此，上述二元线性方程组的

2、解可表示为综上，令则，称D为方程组的系数行列式.例1：解方程组解：因为所以2.三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组引进记号称之为三阶行列式.其中，数称为元素为行标，为列标。(1)沙路法三阶行列式的计算:.列标行标(2)对角线法则注意:红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明:1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例：如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组:可以验证，方程组有唯一解，其中，例2:解:方程左端

3、解得由二、n阶行列式的定义由n行n列元素组成,称之为n阶行列式(determinantofordern)行列式这个词是Cauchy（柯西）把它用于已经出现在十八世纪著作中的．把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的.（两个竖条线是Cayley（凯莱）在１８４１年引进的）．定义由n阶行列式D中划去第i行第j列元素后剩下的n-1行n-1列元素组成的n-1阶行列式，即:称为元素的余子式,称为元素的代数余子式.n阶行列式的定义定义1.1注：上式归纳地定义了任意n阶行列式的值.注意:在n阶行列式展开式中(1)共有n!项;(2)每项由来自不同行不

4、同列的n个元素相乘而得到;(3)展开式中正负号各一半，即各n!/2项;例4:计算上三角行列式(uppertriangulardeterminant)分析这是一个n阶行列式，但它的第一列除所以利用定义展开时只有一项不为零，于是解:都是零，例5:定理1.1设D是n阶行列式，则对任意同理可得下三角行列式(lowertriangulardeterminant)例6:证明对角行列式(diagonaldeterminant)第1.2节行列式的性质线性代数主要内容:一、行列式的性质二、行列式的计算一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式。(transpo

5、seofdeterminant).记说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.推论：行列式可按列展开，也可按行展开．性质1：行列式与它的转置行列式相等.性质2：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以一数k，等于用数k乘此行列式.推论:如果行列式的某一行（列）的元素皆为零，则此行列式的值为零.性质３:交换行列式两行（列）元素的位置行列式变号.证明:提示：应用数学归纳法.推论1:如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明:互换相同的两行，有推论２:行列式任一行（列）的所有元素与另一行(列)对应元素的

6、代数余子式之乘积的和等于零.推论3:行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．Proof:定理1.2:阶行列式D的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积之和等于D；某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于０.利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。性质４:若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和

7、：例如:性质５:把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如:二、行列式的计算(1)降阶法：例1:计算解法1：直接用定理1.2按第一行展开=3(3+0+1520+3+0)(15243+415+18)(0+4010+25+6)2(030+10256)=15+570+120=40.解法2：利用性质=40.例2:计算解：x+1+…+nx+xx+xx+x例3:计算利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值．(2)三角形法：解:例4:

8、计算n阶行列式解:将第都加到第一列得第1.3节Cramer法则线性代数主要内容:一．Cramer法则二．重要定理三．练习思考题设线性方程组则称此方程组